生物統計學習筆記從概念、推導到實務判讀

CHAPTER 01 · TOPIC 03

敘述統計

敘述統計（descriptive statistics）是用來整理、摘要與呈現資料的方法。它不只是在論文的 Table 1 列出數字，而是幫助我們先看懂樣本：資料有哪些類型、中心落在哪裡、彼此差異有多大，以及分布是否對稱或出現離群值。

本頁內容
  1. 先看資料的型態
  2. 集中趨勢：資料的中心在哪裡？
  3. 眾數
  4. 中位數
  5. 算術平均數
  6. 修剪平均數與幾何平均數
  7. 變異程度：資料彼此差多少？
  8. 全距與四分位距
  9. 變異數與標準差
  10. 變異係數
  11. 分布形狀：偏度與峰度
  12. 如何完整報告敘述統計？

敘述統計（descriptive statistics）是用來整理、摘要與呈現資料的方法。它不只是在論文的 Table 1 列出數字，而是幫助我們先看懂樣本：資料有哪些類型、中心落在哪裡、彼此差異有多大，以及分布是否對稱或出現離群值。

先看資料的型態#

不同型態的資料需要不同的摘要方式。類別資料通常報告次數與百分比；數值資料則需要同時描述中心位置、變異程度與分布形狀。樣本數通常以 n 表示。

資料型態常用摘要常見呈現
類別資料次數、百分比次數分配表、長條圖
數值資料平均數與標準差，或中位數與四分位距直方圖、盒鬚圖、密度圖
補充應用：ABC 分析法

ABC 分析法也稱為帕累托分析，是把大量分析對象按照某項指標的貢獻度分級，找出少數影響最大的對象，讓時間、成本與管理資源可以優先投入重點項目。它常用於商品銷售、客戶貢獻、成本、問題原因與庫存管理等分析。

  1. 決定要分析的對象與指標，例如商品銷售額、客戶營收或問題發生次數。
  2. 彙整每個對象的數值，並由高到低排列成長條圖。
  3. 計算各項占總數的比例，再依序加總為累積百分比。
  4. 按照累積百分比切分 A、B、C 類，並為不同類別安排不同的管理方式。
ABC 分析圖：分析對象依指標貢獻度由高至低排列，並以累積百分比區分 A、B、C 類
ABC 分析將對象依貢獻度由高至低排列，再按照累積百分比分類；圖中界線為示意。來源：本站製作
分類代表意義處理方式
A 類數量較少，但對結果的貢獻最大優先分析並集中資源處理
B 類貢獻程度居中定期追蹤並採一般管理
C 類數量可能很多，但單項貢獻較小簡化管理，避免投入過多成本

A、B、C 的分界不是固定規定。圖中的 70% 與 90% 是常見示意，實際上應依分析目的、資料特性與管理成本調整。

集中趨勢：資料的中心在哪裡？#

集中趨勢（central tendency）是用一個具有代表性的數值描述資料的中心位置。常見指標包括眾數、中位數與平均數；它們回答的問題不同，不能只依習慣選擇。

眾數#

眾數（mode）是資料中出現次數最多的值。它可用於類別資料與數值資料，而且一組資料可能沒有眾數，也可能有一個以上的眾數。

中位數#

中位數（median）是將資料由小到大排列後，位於中間位置的數值。若資料數量為奇數，取正中央的觀察值；若為偶數，通常取中間兩個觀察值的平均。

奇數筆資料的位置=n+12\text{奇數筆資料的位置}=\frac{n+1}{2}
第一步：找出中間兩個位置n2 與 (n2+1)\frac{n}{2}\text{ 與 }\left(\frac{n}{2}+1\right)
第二步：取中間兩個觀察值的平均Median⁡=x(n/2)+x(n/2+1)2\operatorname{Median}=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}
中位數公式的符號代表意義
n資料的總筆數
x₍ₖ₎資料由小到大排列後，第 k 個位置的觀察值
Median中位數；偶數筆資料時為中央兩個觀察值的平均

中位數較不容易受到極端值影響，因此當分布明顯偏斜或存在離群值時，通常比平均數更能代表典型位置。不過，中位數沒有充分利用每個觀察值的實際大小，在某些統計推論中也不如平均數方便。

算術平均數#

算術平均數（arithmetic mean）是所有觀察值總和除以資料筆數。它會使用每一筆資料，因此能反映整體數值，但也容易受到極端值影響。

xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
平均數公式的符號代表意義
x̄樣本的算術平均數
xᵢ第 i 筆觀察值
n資料的總筆數
Σ求和符號；把第 1 筆到第 n 筆觀察值全部加總
i觀察值的編號，由 1 依序到 n

修剪平均數與幾何平均數#

修剪平均數（trimmed mean）會先依大小排序，再從兩端各移除固定比例的觀察值後計算平均。它不是先判定哪些值是錯誤的離群值再刪除，而是在平均數與中位數之間取得對極端值較穩健的摘要。

幾何平均數（geometric mean）適合描述正值資料的乘法變化，例如成長倍數、比率或對數常態資料。對於明顯右偏且數值皆為正的資料，常會先取自然對數（ln）；取 ln 後，較大的數值會被壓縮，資料可能變得較為對稱，並可能更接近常態分布，方便進行後續分析。若資料包含零或負值，便不能直接使用一般的對數轉換與幾何平均數。

連乘形式G=(∏i=1nxi)1/n,xi>0G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n},\quad x_i>0
等價的對數形式G=exp⁡ ⁣(1n∑i=1nln⁡xi)G=\exp\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)
幾何平均數公式的符號代表意義
G幾何平均數
xᵢ第 i 筆觀察值，且每一筆都必須大於 0
n資料的總筆數
Π連乘符號；把第 1 筆到第 n 筆觀察值全部相乘
Σ求和符號；此處是把每筆資料取 ln 後全部相加
ln自然對數
expln 的反函數，用來把結果轉回原始尺度

變異程度：資料彼此差多少？#

只知道中心位置仍不足以描述資料。即使兩組資料的平均數相同，分散程度也可能完全不同，因此需要全距、四分位距、變異數或標準差等指標。

全距與四分位距#

全距=xmax⁡−xmin⁡\text{全距}=x_{\max}-x_{\min}
IQR⁡=Q3−Q1\operatorname{IQR}=Q_3-Q_1
全距與四分位距的符號代表意義
xₘₐₓ資料中的最大值
xₘᵢₙ資料中的最小值
Q₁第一四分位數；約有 25% 的資料不大於它
Q₃第三四分位數；約有 75% 的資料不大於它
IQR四分位距，表示中間 50% 資料涵蓋的範圍

全距只使用最大值與最小值，因此容易受到極端值影響。四分位距（interquartile range, IQR）描述中間 50% 資料的範圍，對極端值較穩健，特別適合與中位數一起報告。

變異數與標準差#

變異數以每個觀察值和平均數之間的平方距離衡量分散程度；標準差是變異數的平方根，因此與原始資料具有相同單位，通常更容易解讀。

母體的變異數與標準差σ2=1N∑i=1N(xi−μ)2,σ=σ2\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}
樣本的變異數與標準差s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2,s=s2s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad s=\sqrt{s^2}

這兩組公式先計算每筆資料離平均數有多遠，再將距離平方後加總。結果愈大，表示資料愈分散；最後開平方得到標準差，使單位回到與原始資料相同。

變異數與標準差的符號代表意義
N、n母體大小與樣本筆數
xᵢ第 i 筆觀察值
μ、x̄母體平均數與樣本平均數
σ²、s²母體變異數與樣本變異數
σ、s母體標準差與樣本標準差
Σ將每筆資料與平均數之間的平方距離全部加總
n−1樣本變異數使用的自由度

變異係數#

變異係數（coefficient of variation, CV）以標準差相對於平均數的大小描述相對變異，常以百分比表示。它適合比較單位或平均水準不同、且具有有意義絕對零點的正值資料；當平均數接近零或資料可為負值時，CV 容易失去解釋性。

CV⁡=sxˉ×100%\operatorname{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%
變異係數公式的符號代表意義
CV變異係數，通常以百分比表示
s樣本標準差
x̄樣本平均數
×100%將標準差占平均數的比例換算成百分比

分布形狀：偏度與峰度#

偏度（skewness）描述分布的不對稱程度。判讀正負時要看長尾的方向：長尾朝左是負偏態，長尾朝右是正偏態；對稱分布的偏度接近 0。

負偏態與正偏態分布比較：負偏態的長尾朝左，正偏態的長尾朝右
偏度的正負由分布長尾的方向判斷，而不是看最高點偏向哪一側。來源：依原始筆記圖重製
γ1=E⁡ ⁣[(X−μσ)3]=μ3σ3=κ3κ23/2\gamma_1=\operatorname{E}\!\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right]=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=\frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}

這個公式先把資料相對於平均數的距離標準化，再取三次方。三次方會保留正負方向，因此右側與左側的長尾不會互相抵銷，最後可用正負號表示偏斜方向。

偏度公式的符號代表意義
γ₁母體偏度
X隨機變數
E[·]期望值，可直覺理解為長期平均
μ、σ母體平均數與母體標準差
μ₃三階中央動差，即 E[(X−μ)³]
κ₂、κ₃第二與第三累積量；κ₂ 等於變異數，κ₃ 等於三階中央動差

峰度（kurtosis）常被直覺描述成曲線尖不尖，但更精確地說，它反映分布尾端的厚重程度與出現極端值的傾向。不同分布可能具有相近的峰高，卻有不同的峰度，因此不能只看中央最高點。

β2=E⁡ ⁣[(X−μσ)4],γ2=β2−3\beta_2=\operatorname{E}\!\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right],\qquad \gamma_2=\beta_2-3

峰度使用四次方，因此離平均數很遠的觀察值會被大幅放大，用來反映分布尾端與極端值的影響。減去 3 是為了讓常態分布的超額峰度以 0 作為比較基準。

峰度公式的符號代表意義
β₂峰度；常態分布的 β₂ 為 3
γ₂超額峰度，等於 β₂−3；常態分布以 0 為基準
X隨機變數
E[·]期望值
μ、σ母體平均數與母體標準差

常態分布的峰度 β₂ 為 3；若使用超額峰度 γ₂，常態分布則以 0 為基準。因此閱讀軟體輸出時，要先確認它報告的是峰度還是超額峰度。

如何完整報告敘述統計？#

  1. 先辨認資料型態與測量尺度。
  2. 類別資料報告次數與百分比。
  3. 數值資料同時報告中心位置與變異程度。
  4. 查看分布圖與離群值，再決定使用平均數與標準差，或中位數與四分位距。
  5. 必要時補充偏度、峰度與適合的圖形，但不要只靠單一統計量判斷分布。