2×2 列聯表 | 二項分布檢定與 2×2 表

2×2 列聯表（2×2 contingency table）用來整理兩個二元類別變項的聯合分布。例如，一個變項表示是否暴露於某項因子，另一個變項表示是否發生疾病；四個儲存格記錄兩種分類交叉後的觀察次數。

2×2 表格的結構

	有疾病（case）	無疾病（control）	合計
有暴露（exposed）	A	B	A+B
無暴露（unexposed）	C	D	C+D
合計	A+C	B+D	N=A+B+C+D

表格內的 A、B、C、D 是聯合次數；列合計與欄合計則是邊際次數。同一張表可以沿著列比較疾病比例，也可以沿著欄比較暴露比例，但應該沿哪個方向解讀，取決於研究如何抽樣，而不是表格外觀看起來如何。

符號	代表的觀察
A	有暴露且有疾病
B	有暴露但無疾病
C	無暴露但有疾病
D	無暴露且無疾病

從次數表寫成聯合機率

令 X=1 表示有暴露、Y=1 表示有疾病。Pᵢⱼ 表示 X=i 且 Y=j 的聯合機率，四個聯合機率相加等於 1。

	Y=1	Y=0	X 的邊際機率
X=1	$P_{11}$	$P_{10}$	$P_X=P_{11}+P_{10}$
X=0	$P_{01}$	$P_{00}$	$1-P_X$
Y 的邊際機率	$P_Y=P_{11}+P_{01}$	$1-P_Y$	1

如果 X 與 Y 彼此獨立

獨立表示知道 X 的結果，不會改變 Y 的機率；因此每一格的聯合機率等於對應邊際機率的乘積。

	Y=1	Y=0
X=1	$P_{11}=P_XP_Y$	$P_{10}=P_X(1-P_Y)$
X=0	$P_{01}=(1-P_X)P_Y$	$P_{00}=(1-P_X)(1-P_Y)$

獨立的條件機率寫法

P(Y=1\mid X=1)=P(Y=1\mid X=0)=P_Y

獨立的聯合機率寫法

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

下一篇卡方獨立性檢定會把這個機率條件轉成各格的期望次數，再比較實際觀察次數與獨立情況下的期望次數。本頁先集中處理 2×2 表本身及其效果量。

研究設計決定表格要怎麼讀

研究設計	如何取得樣本	主要比較方向	可直接估計的效果量
病例對照研究（case-control study）	先依疾病狀態選取病例與對照，再回溯過去暴露	比較病例與對照的暴露勝算	勝算比 OR
世代研究（cohort study）	先依暴露狀態形成群組，再觀察疾病結果	比較暴露組與未暴露組的疾病風險	相對風險 RR、風險差

例如，病例對照研究可以比較口腔癌病例與非病例過去嚼檳榔的情形；世代研究則可先找出嚼檳榔與未嚼檳榔者，再追蹤兩組後續發生疾病的比例。世代研究可以是前瞻、回溯或雙向設計，關鍵在於研究者依暴露形成風險集合，而不是單看資料收集發生在過去或未來。

勝算與勝算比 OR

若某事件發生的機率為 p，勝算（odds）是事件發生機率與未發生機率的比值。機率是「發生者占全部的比例」，勝算則是「發生者相對於未發生者有多少」。

\operatorname{odds}=\frac{p}{1-p}

符號	在這組公式中的意義
A、B、C、D	2×2 列聯表四個格子的觀察次數；實際位置依頁面上的表格標示
OR	勝算比（odds ratio）
p₁、p₂	兩組事件發生的機率
L	取自然對數後的效果量，例如 ln(OR) 或 ln(RR)
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

在病例對照研究中，可以比較病例與對照的暴露勝算；等價地，也可以比較暴露組與未暴露組的疾病勝算。兩種方向最後都得到相同的交叉乘積比。

病例中的暴露勝算

\frac{A}{C}

對照中的暴露勝算

\frac{B}{D}

勝算比

OR=\frac{A/C}{B/D}=\frac{AD}{BC}

OR 的值	資料層次的解讀
OR=1	兩組勝算相同，沒有觀察到關聯
OR>1	暴露與較高的疾病勝算相關
OR<1	暴露與較低的疾病勝算相關

為什麼對 OR 取自然對數？

OR 只能大於 0，且其抽樣分布通常右偏。取自然對數後，無關聯的 OR=1 會轉成 ln(OR)=0，兩個勝算相除也會轉成對數勝算相減；在四格次數足夠時，ln(OR) 的抽樣分布較接近常態分布，方便建立 Z 統計量與信賴區間。

對數勝算比

\ln(OR)=\ln\left(\frac{AD}{BC}\right)

估計變異數

\widehat{\operatorname{Var}}\!\left[\ln(OR)\right]=\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D

估計標準誤

SE\!\left[\ln(OR)\right]=\sqrt{\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D}

檢定假設

H_0:OR=1\ \Longleftrightarrow\ \ln(OR)=0

Wald Z 統計量

Z=\frac{\ln(OR)}{SE[\ln(OR)]}

ln(OR) 的信賴區間

\ln(OR)\pm z_{1-\alpha/2}SE[\ln(OR)]

轉回 OR 的信賴區間

\left(\exp(L),\exp(U)\right)

L、U 是 ln(OR) 信賴區間的下限與上限。最後必須取指數轉回 OR 尺度；若 OR 的信賴區間包含 1，便與相同顯著水準下無法拒絕 H₀:OR=1 相對應。這些大樣本公式可由 delta method（泰勒展開的一階近似）推得。

相對風險 RR

世代研究可以直接計算兩組的疾病風險。暴露組的風險為 A/(A+B)，未暴露組的風險為 C/(C+D)；兩者相除就是相對風險（relative risk）。

暴露組疾病風險

R_1=\frac{A}{A+B}

未暴露組疾病風險

R_0=\frac{C}{C+D}

相對風險

RR=\frac{R_1}{R_0}=\frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}

RR 的值	資料層次的解讀
RR=1	兩組疾病風險相同
RR>1	暴露組的疾病風險較高
RR<1	暴露組的疾病風險較低

ln(RR) 的標準誤與信賴區間

RR 也只能大於 0，取自然對數後，RR=1 會變成 ln(RR)=0。在兩組獨立且計數足夠時，可利用 ln(RR) 的近似常態分布進行推論。

對數相對風險

\ln(RR)=\ln\left(\frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}\right)

估計變異數

\widehat{\operatorname{Var}}\!\left[\ln(RR)\right]=\left(\frac1A-\frac1{A+B}\right)+\left(\frac1C-\frac1{C+D}\right)

等價寫法

\widehat{\operatorname{Var}}\!\left[\ln(RR)\right]=\frac{1-A/(A+B)}{A}+\frac{1-C/(C+D)}{C}

估計標準誤

SE\!\left[\ln(RR)\right]=\sqrt{\widehat{\operatorname{Var}}[\ln(RR)]}

檢定假設

H_0:RR=1\ \Longleftrightarrow\ \ln(RR)=0

Wald Z 統計量

Z=\frac{\ln(RR)}{SE[\ln(RR)]}

ln(RR) 的信賴區間

\ln(RR)\pm z_{1-\alpha/2}SE[\ln(RR)]

轉回 RR 的信賴區間

\left(\exp(L),\exp(U)\right)

OR 與 RR 的關係

比較項目	OR	RR
比較內容	兩組勝算的比值	兩組風險的比值
無關聯值	1	1
病例對照研究	通常可估計	通常不能直接估計
世代研究／隨機試驗	可估計	可估計
效果解讀	勝算變成幾倍	風險變成幾倍

疾病在兩組中都很少見時，A 相對於 B 很小、C 相對於 D 也很小，因此 A+B≈B、C+D≈D，OR 會接近 RR。

OR=\frac{A/B}{C/D}\approx\frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}=RR

符號	在這組公式中的意義
A、B、C、D	2×2 列聯表四個格子的觀察次數；實際位置依頁面上的表格標示
OR	勝算比（odds ratio）
p₁、p₂	兩組事件發生的機率
L	取自然對數後的效果量，例如 ln(OR) 或 ln(RR)

取 ln 後的公式比較

把單一二項比例、病例對照研究的 ln(OR) 與世代研究的 ln(RR) 放在同一張表，可以看出三者共享相同的推論骨架：先決定樣本估計值與其變異數，再以「估計值−H₀ 指定值」除以標準誤，最後用同一個標準誤建立信賴區間。

比較項目	單一二項比例	病例對照研究：ln(OR)	世代研究：ln(RR)
樣本估計值	$\hat p$	$\ln\left(\dfrac{AD}{BC}\right)$	$\ln\left(\dfrac{A/(A+B)}{C/(C+D)}\right)$
估計變異數	$\dfrac{\hat p(1-\hat p)}n$	$\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C+\dfrac1D$	$\dfrac{1-A/(A+B)}A+\dfrac{1-C/(C+D)}C$
標準化	$Z=\dfrac{\hat p-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}$	$Z=\dfrac{\ln(OR)-0}{\sqrt{1/A+1/B+1/C+1/D}}$	$Z=\dfrac{\ln(RR)-0}{\sqrt{[1-A/(A+B)]/A+[1-C/(C+D)]/C}}$
$100(1-\alpha)\%$ 信賴區間	$\hat p\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}n}$	$\ln(OR)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C+\dfrac1D}$	$\ln(RR)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{1-A/(A+B)}A+\dfrac{1-C/(C+D)}C}$

補充：資料轉換、ln(OR) 與 ln(RR) 的完整推導

資料轉換後的平均數與變異數

先處理推導共同使用的數學工具。設隨機變數 X 的平均數為 μ、變異數為 σ²，經過函數轉換後得到 Y=f(X)。在 μ 附近展開 f(X)：

設定

E(X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sigma^2,\qquad Y=f(X)

泰勒展開

f(X)=f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac12f''(\mu)(X-\mu)^2+\cdots

取一階近似

f(X)\approx f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)

求轉換後的平均數

對一階近似取期望值

E[f(X)]\approx E\!\left[f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)\right]

常數提出期望值

=f(\mu)+f'(\mu)E(X-\mu)

利用 E(X−μ)=0

E[f(X)]\approx f(\mu)

求轉換後的變異數

由變異數定義開始

\operatorname{Var}[f(X)]=E\!\left(\left\{f(X)-E[f(X)]\right\}^2\right)

代入一階近似

\operatorname{Var}[f(X)]\approx E\!\left(\left\{f'(\mu)(X-\mu)\right\}^2\right)

提出常數平方

=[f'(\mu)]^2E[(X-\mu)^2]

Delta method

\operatorname{Var}[f(X)]\approx[f'(\mu)]^2\operatorname{Var}(X)

將結果用在 ln(OR)

病例組的暴露比例為 p₁=A/(A+C)、樣本數為 n₁=A+C；對照組的暴露比例為 p₂=B/(B+D)、樣本數為 n₂=B+D。

病例組

p_1=\frac{A}{A+C},\qquad n_1=A+C,\qquad \frac{p_1}{1-p_1}=\frac AC

對照組

p_2=\frac{B}{B+D},\qquad n_2=B+D,\qquad \frac{p_2}{1-p_2}=\frac BD

先將兩組比例分別轉換成對數勝算，再用線性組合把兩組相減：

轉換函數

g(p)=\ln\left(\frac{p}{1-p}\right)

兩組的線性組合

L=g(p_1)-g(p_2)

整理成對數勝算比

L=\ln\left(\frac{p_1(1-p_2)}{p_2(1-p_1)}\right)=\ln\left(\frac{AD}{BC}\right)=\ln(OR)

ln(OR) 的平均數

分別套用一階近似

E[g(\hat p_1)]\approx g(p_1),\qquad E[g(\hat p_2)]\approx g(p_2)

兩組相減

E(L)\approx g(p_1)-g(p_2)=\ln(OR)

ln(OR) 的變異數

由二項比例 Var(p̂)=p(1−p)/n，以及 logit 函數的導數，先求單一組別的對數勝算變異數：

Logit 的導數

g'(p)=\frac1p+\frac1{1-p}=\frac1{p(1-p)}

套用 delta method

\operatorname{Var}[g(\hat p)]\approx\left[\frac1{p(1-p)}\right]^2\frac{p(1-p)}n

化簡

=\frac1{np(1-p)}=\frac1{np}+\frac1{n(1-p)}

病例組

\widehat{\operatorname{Var}}[g(\hat p_1)]\approx\frac1A+\frac1C

對照組

\widehat{\operatorname{Var}}[g(\hat p_2)]\approx\frac1B+\frac1D

兩組獨立，變異數相加

\widehat{\operatorname{Var}}[\ln(OR)]\approx\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D

將結果用在 ln(RR)

暴露組的疾病比例為 p₁=A/(A+B)、樣本數為 n₁=A+B；未暴露組的疾病比例為 p₂=C/(C+D)、樣本數為 n₂=C+D。

暴露組

p_1=\frac{A}{A+B},\qquad n_1=A+B

未暴露組

p_2=\frac{C}{C+D},\qquad n_2=C+D

兩組比例先取自然對數，再將兩組相減：

轉換函數

h(p)=\ln(p)

兩組的線性組合

L=h(p_1)-h(p_2)=\ln(p_1)-\ln(p_2)

整理成對數相對風險

L=\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=\ln\left(\frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}\right)=\ln(RR)

ln(RR) 的平均數

分別套用一階近似

E[\ln(\hat p_1)]\approx\ln(p_1),\qquad E[\ln(\hat p_2)]\approx\ln(p_2)

兩組相減

E(L)\approx\ln(p_1)-\ln(p_2)=\ln(RR)

ln(RR) 的變異數

對 h(p)=ln(p) 微分，再代入二項比例的變異數：

自然對數的導數

h'(p)=\frac1p

套用 delta method

\operatorname{Var}[\ln(\hat p)]\approx\left(\frac1p\right)^2\frac{p(1-p)}n

化簡

=\frac{1-p}{np}

暴露組

\widehat{\operatorname{Var}}[\ln(\hat p_1)]\approx\frac{1-A/(A+B)}A=\frac1A-\frac1{A+B}

未暴露組

\widehat{\operatorname{Var}}[\ln(\hat p_2)]\approx\frac{1-C/(C+D)}C=\frac1C-\frac1{C+D}

兩組獨立，變異數相加

\widehat{\operatorname{Var}}[\ln(RR)]\approx\left(\frac1A-\frac1{A+B}\right)+\left(\frac1C-\frac1{C+D}\right)

分析時還要注意什麼？

確認四格的列、欄定義與參考組；交換疾病、暴露或參考組方向，可能使 OR 或 RR 變成倒數。
確認觀察值彼此獨立。若是同一批受試者前後配對的二元結果，應使用配對方法，而不是獨立 2×2 表的方法。
四格次數很小時，ln(OR) 與 ln(RR) 的常態近似可能不可靠；若任一格為 0，上述含倒數與對數的公式也不能直接使用。
效果量應搭配信賴區間，而不是只報告 p 值；統計關聯仍需結合研究設計判斷偏差、混雜與因果關係。