卡方獨立性檢定 | 二項分布檢定與 2×2 表

卡方獨立性檢定（chi-square test of independence）用來判斷兩個類別變項在母體中是否彼此獨立。資料先整理成 r×c 列聯表；若兩變項獨立，每一格應出現多少次可以由列、欄的邊際比例推算，再與實際觀察次數比較。

使用時機

當同一批獨立觀察單位同時具有兩個類別變項，而且研究問題是兩種分類是否存在關聯時，可以使用卡方獨立性檢定。例如，比較暴露狀態與疾病狀態、治療組別與是否改善，或性別與偏好的類別是否彼此獨立。

兩個變項都必須是類別資料，並可整理成交叉次數表。
每個觀察單位只能出現在一個儲存格中，各觀察單位彼此獨立。
分析的是次數，而不是直接把百分比或平均數代入公式。
各格期望次數需要足夠大，Pearson 卡方分配的近似才可靠。

2×2 表的觀察次數

	有疾病（case）	無疾病（control）	列合計
有暴露（exposed）	A	B	A+B
無暴露（unexposed）	C	D	C+D
欄合計	A+C	B+D	N=A+B+C+D

A、B、C、D 是觀察次數 O；最後一列與最後一欄是邊際總數。卡方獨立性檢定不直接比較 OR 或 RR 的大小，而是問：如果暴露與疾病真的獨立，這四格次數與獨立模型所預期的次數相差多遠？

建立假設

虛無假設

H_0:X\text{ 與 }Y\text{ 彼此獨立}

對立假設

H_1:X\text{ 與 }Y\text{ 不獨立}

H₀ 的機率條件

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

「不獨立」表示兩變項存在統計關聯，但不代表其中一個變項必然造成另一個變項。卡方檢定也不提供關聯方向與效果大小；這些資訊要搭配各格比例、殘差、OR、RR 或其他適合的效果量判讀。

期望次數如何得到？

在 H₀ 下，第 i 列且第 j 欄的聯合機率等於第 i 列邊際機率乘上第 j 欄邊際機率。用樣本的列比例與欄比例估計這兩個邊際機率，再乘上總人數 N，就得到該格的期望次數。

第 i 列的邊際機率估計

\widehat P(X=i)=\frac{n_{i+}}N

第 j 欄的邊際機率估計

\widehat P(Y=j)=\frac{n_{+j}}N

獨立時的聯合機率估計

\widehat P_{ij}=\frac{n_{i+}}N\frac{n_{+j}}N

第 i,j 格的期望次數

E_{ij}=N\widehat P_{ij}=\frac{n_{i+}n_{+j}}N

2×2 表的四個期望次數

儲存格	觀察次數	H₀ 下的期望次數
A：有暴露且有疾病	A	$E_A=\dfrac{(A+B)(A+C)}N$
B：有暴露且無疾病	B	$E_B=\dfrac{(A+B)(B+D)}N$
C：無暴露且有疾病	C	$E_C=\dfrac{(C+D)(A+C)}N$
D：無暴露且無疾病	D	$E_D=\dfrac{(C+D)(B+D)}N$

Pearson 卡方統計量

每一格先計算觀察次數與期望次數的差，再除以該格期望次數的平方根形成 Pearson residual；把所有殘差平方後相加，就是 Pearson 卡方統計量。

第 i,j 格的 Pearson residual

r_{ij}=\frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}

Pearson 卡方統計量

\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

自由度為什麼是 (r−1)(c−1)？

在 r×c 表中，一共有 rc 個聯合機率。若不加限制，全部機率相加等於 1，因此可自由指定 rc−1 個；在 H₀ 的獨立模型下，只需指定 r−1 個列邊際機率與 c−1 個欄邊際機率。兩個模型相差的參數數量就是卡方檢定的自由度。

未限制的聯合分布

rc-1

獨立模型的邊際參數

(r-1)+(c-1)

兩者相減

df=(rc-1)-[(r-1)+(c-1)]=(r-1)(c-1)

2×2 表的簡化公式

把四格期望次數代入 Pearson 卡方公式並整理，可得到 2×2 表專用的交叉乘積簡化式。它和逐格計算 Σ(O−E)²/E 完全相同，但只適用於未做連續性校正的 2×2 Pearson 卡方檢定。

\chi^2_{df=1}=\frac{N(AD-BC)^2}{(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)}

符號	在這組公式中的意義
χ²	卡方分配或卡方統計量

補充：由 Pearson 公式推導 2×2 簡化式

令列總數 r₁=A+B、r₂=C+D，欄總數 c₁=A+C、c₂=B+D，且 N=r₁+r₂=c₁+c₂。先看 A 格的觀察次數與期望次數之差：

A 格期望次數

E_A=\frac{r_1c_1}{N}

A 格的差

A-E_A=A-\frac{(A+B)(A+C)}N

通分並展開

A-E_A=\frac{AN-(A+B)(A+C)}N=\frac{AD-BC}{N}

由固定的列、欄總數可得，B、C 格的偏差與 A 格方向相反，D 格則與 A 格方向相同；四格偏差的絕對值都等於 |AD−BC|/N。

四格偏差

A-E_A=D-E_D=\frac{AD-BC}{N}

另外兩格

B-E_B=C-E_C=-\frac{AD-BC}{N}

代回 Pearson 公式，因為平方會消除正負號，所以四項具有共同分子：

\chi^2=\frac{(AD-BC)^2}{N^2}\left(\frac1{E_A}+\frac1{E_B}+\frac1{E_C}+\frac1{E_D}\right)

代入四格期望次數

\sum\frac1E=N\left(\frac1{r_1c_1}+\frac1{r_1c_2}+\frac1{r_2c_1}+\frac1{r_2c_2}\right)

提出共同分母

\sum\frac1E=\frac{N^3}{r_1r_2c_1c_2}

得到簡化式

\chi^2=\frac{N(AD-BC)^2}{r_1r_2c_1c_2}=\frac{N(AD-BC)^2}{(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)}

為什麼只看卡方分配右尾？

χ² 最小為 0；當每格 O 都等於 E 時，χ²=0，資料與獨立模型完全吻合。O 與 E 的整體差距愈大，χ² 愈大，也愈不支持 H₀。因此拒絕域只在右尾。

p\text{ 值}=P\!\left(\chi^2_{df}\geq\chi^2_{\mathrm{obs}}\mid H_0\right)

符號	在這組公式中的意義
χ²	卡方分配或卡方統計量

與 Poisson 分布的關係

Pearson 統計量的分母使用 E，形式上可聯想到 Poisson 計數具有 Var(O)=E。更正式地說，若各格先視為獨立 Poisson 計數，在給定總數 N 後會得到多項分布；但卡方獨立性檢定不要求原始資料一定是「N 很大、p 很小」的稀有事件，也不能因此說此檢定只是由 Poisson 分布直接推出。

近似條件與方法選擇

Pearson 卡方檢定使用大樣本近似。常見的入門經驗規則是每一格期望次數 Eᵢⱼ 約至少為 5；若某些期望次數太小，離散計數形成的 χ² 統計量可能還沒有充分接近連續的卡方分布，查卡方表得到的 p 值便可能不夠準確。

因此，看到某個觀察格小於 5 可以提醒我們進一步檢查，但不能只憑這個觀察值決定方法。2×2 表若期望次數稀疏，可優先考慮 Fisher 精確檢定；其他 r×c 表則可考慮適當的精確或 Monte Carlo 方法。下一頁會另外說明 Yates 連續性校正。

檢定步驟

確認資料包含兩個類別變項，觀察值彼此獨立，並建立 r×c 觀察次數表。
設定 H₀ 為兩變項獨立、H₁ 為兩變項不獨立。
利用 Eᵢⱼ=列合計×欄合計÷N 計算每格期望次數，並檢查近似條件。
計算 Pearson χ² 與 df=(r−1)(c−1)，由右尾得到 p 值。
若拒絕 H₀，再檢視比例、殘差與效果量，說明關聯主要來自哪些儲存格及其實質意義。