McNemar 檢定 | 二項分布檢定與 2×2 表

McNemar 檢定（McNemar’s test）用來分析成對二元資料，例如同一批受試者治療前後的陽性／陰性結果，或經過配對的兩個觀察單位。它不把四格都當成獨立樣本，而是專注於結果發生改變的兩種不一致配對。

成對二元資料如何整理？

McNemar 檢定問的是兩個方向的改變機率是否相同。若 Before 與 After 的邊際比例相同，No→Yes 與 Yes→No 應同樣可能；這稱為邊際同質性（marginal homogeneity）。

虛無假設

H_0:P_b=P_c

對立假設

H_1:P_b\ne P_c

只看不一致配對後的等價假設

H_0:\pi=P(b\mid b\text{ 或 }c)=\frac12

雙尾檢定關心 b、c 是否不相等；若研究問題事先指定方向，也可以設定 P_b>P_c 或 P_b<P_c 的單尾對立假設。方向必須配合表格定義，交換 Before／After 或 Yes／No 會交換 b、c。

條件在「已經發生改變」的 n=b+c 對資料後，每一對只剩兩種互斥結果：落在 b 或落在 c。若 H₀ 成立，兩個方向機率相同，因此 b 可以視為參數 π₀=1/2 的二項隨機變數。

不一致配對數

n=b+c

H₀ 下 b 的分布

B\mid(B+C=n)\sim\operatorname{Binomial}\left(n,\frac12\right)

樣本中的 b 比例

\hat p_b=\frac{b}{b+c}

H₀ 下的平均數與變異數

E(B)=\frac n2,\qquad\operatorname{Var}(B)=\frac n4

先把 b 在不一致配對中的比例，與 H₀ 指定的 π₀=1/2 比較。這與單一二項比例 Z 檢定使用相同的標準化結構。

單一比例 Z 統計量

Z=\frac{\hat p_b-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}

分子、分母同乘 n

Z=\frac{n\hat p_b-n\pi_0}{\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)}}

代入 n p̂b=b、π₀=1/2

Z=\frac{b-n/2}{\sqrt{n(1/2)(1/2)}}

再代入 n=b+c

Z=\frac{b-(b+c)/2}{\sqrt{(b+c)/4}}

分子與分母分別化簡

Z=\frac{(b-c)/2}{\sqrt{b+c}/2}

約去共同的 1/2

Z=\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}

自由度為 1 時，標準常態變數的平方服從 χ²₁。把前面每一步得到的 Z 平方，就得到未校正的 McNemar 卡方統計量：

由一般比例公式開始

\chi_1^2=Z^2=\left(\frac{\hat p_b-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}\right)^2

改寫成二項計數

=\left(\frac{n\hat p_b-n\pi_0}{\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)}}\right)^2

代入 b、c 與 π₀=1/2

=\left(\frac{b-(b+c)/2}{\sqrt{(b+c)(1/2)(1/2)}}\right)^2

化簡分子與分母

=\left(\frac{(b-c)/2}{\sqrt{b+c}/2}\right)^2

未校正 McNemar 統計量

\chi_M^2=\frac{(b-c)^2}{b+c}

原始的大樣本卡方公式依賴二項分布的常態近似。早期常以 b+c≥20 作為使用近似公式的經驗規則，但這不是不可變動的界線；當不一致配對數較少時，可以直接使用條件二項分布計算精確 p 值。

精確雙尾二項 p 值

p_{\mathrm{exact}}=2\min\left\{P(B\leq b_{\mathrm{obs}}),\ P(B\geq b_{\mathrm{obs}})\right\}\quad\text{並以 }1\text{ 為上限}

連續性校正的 McNemar 統計量

\chi_{M,Y}^2=\frac{\left(|b-c|-1\right)^2}{b+c}

連續性校正先在單一二項計數 b 的尺度，將觀察值與期望值 n/2 的絕對距離減去 0.5：

在 b 的尺度作 0.5 校正

Z_Y=\frac{|b-n/2|-0.5}{\sqrt{n(1/2)(1/2)}}

代入 n=b+c

Z_Y=\frac{|b-(b+c)/2|-0.5}{\sqrt{(b+c)/4}}

把絕對差提出 1/2

Z_Y=\frac{|b-c|/2-1/2}{\sqrt{b+c}/2}

分子、分母同乘 2

Z_Y=\frac{|b-c|-1}{\sqrt{b+c}}

平方得到校正後卡方

\chi_{M,Y}^2=Z_Y^2=\frac{(|b-c|-1)^2}{b+c}

精確二項檢定直接使用離散分布；連續性校正仍是大樣本近似，而且可能較保守。實務上應依分析計畫與軟體方法一致報告，不能計算多種版本後只選最顯著的結果。