生物統計學習筆記從概念、推導到實務判讀

CHAPTER 04 · TOPIC 04

相依樣本 t 檢定

相依樣本 t 檢定（paired t test）用來比較兩個相依樣本在某個定量變數上的平均數是否有差異。兩筆資料必須能一一配對；分析時先計算每一對的差值，再檢定這些差值的母體平均數是否為 0。

本頁內容
  1. 什麼是相依樣本？
  2. 檢定情境
  3. 先把每一對資料相減
  4. 建立假設
  5. 檢定步驟
  6. 與相依樣本變異數分析的關係

相依樣本 t 檢定（paired t test）用來比較兩個相依樣本在某個定量變數上的平均數是否有差異。兩筆資料必須能一一配對；分析時先計算每一對的差值，再檢定這些差值的母體平均數是否為 0。

什麼是相依樣本？

相依方式例子
同一群樣本接受兩次相同或類似的觀測運動員訓練前後的成績；受訪者對兩個不同議題的關心程度
兩群樣本具有自然關係同卵雙胞胎的智力；夫妻每個月各自的收入
依重要條件配對後接受不同處理智力相近的學生配對並隨機接受不同教學法；身體狀況相近的受試者配對後分別使用新、舊藥物，再測量血糖值

資料中的組別是兩個彼此有關聯的類別，屬於質的變數；實際測量的依變數則是定量變數（quantitative variable）。每一筆 Xᵢ 都必須有明確對應的 Yᵢ，不能任意重新配對。

檢定情境

  • 制度變革前後，員工對公司的忠誠度是否改變。
  • 同一批選民對兩位候選人的滿意度是否不同。
  • 配對的長子與非長子，其冒險性格評分是否不同。
  • 受試者經配對及隨機分派後，分別服用兩種藥物，或一組服用藥物、一組服用安慰劑，一星期後比較收縮壓。

先把每一對資料相減

相依樣本 t 檢定的核心，是把成對的兩個測量值 Xᵢ 與 Yᵢ 相減，得到每一對的差值 dᵢ。接著計算差值的平均數與標準差，把問題轉換成「差值是否以 0 為中心」。

第 i 對的差值di=Xi−Yid_i=X_i-Y_i
平均差dˉ=1n∑i=1ndi\bar d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_i
差值的標準差sd=∑i=1n(di−dˉ)2n−1s_d=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(d_i-\bar d)^2}{n-1}}
配對 t 統計量t=dˉ−μd,0sd/n,ν=n−1t=\frac{\bar d-\mu_{d,0}}{s_d/\sqrt n},\qquad \nu=n-1

若差值的母體標準差已知，可用相同的平均差結構形成 Z 統計量；實務上通常未知，因此以差值的樣本標準差 s_d 估計並使用 t 分配。

建立假設

雙尾：平均差是否不為 0H0:μd=0,H1:μd≠0H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\ne0
右尾：X 是否平均高於 YH0:μd≤0,H1:μd>0H_0:\mu_d\leq0,\qquad H_1:\mu_d>0
左尾：X 是否平均低於 YH0:μd≥0,H1:μd<0H_0:\mu_d\geq0,\qquad H_1:\mu_d<0

差值的正負取決於相減順序。若定義 dᵢ=Xᵢ−Yᵢ，正的平均差表示 X 平均高於 Y；交換相減順序會改變 t 值正負，但雙尾 p 值不變。

檢定步驟

  1. 確認兩次測量或兩組資料可以正確地一一配對。
  2. 固定相減順序，計算每一對的差值 dᵢ=Xᵢ−Yᵢ。
  3. 由所有差值計算 d̄、s_d 與 t 值，自由度為 n−1。
  4. 利用 t 分配查表或由電腦求 p 值，再判斷是否拒絕 H₀。

與相依樣本變異數分析的關係

只有兩個相依測量條件時，也可以使用單因子相依樣本變異數分析。兩種方法對同一假設會得到一致的顯著性結論，且檢定統計量滿足：

F=t2F=t^2