母體變異數的推論 | Z 檢定與 t 檢定

母體變異數的推論用來回答資料的分散程度是否符合指定標準，或兩個母體的變異數是否相同。若資料來自常態母體，單一母體變異數可以利用卡方分配推論；兩個獨立母體變異數的比值則可以利用 F 分配推論。

單一母體變異數的卡方檢定

若研究問題是檢定一個常態母體的變異數是否等於指定值 σ₀²，可以利用樣本變異數與卡方分配的關係。例如生產產品時，希望變異數維持在較小範圍，使產品具有高度一致性；若產品差異過大，品質與消費者權益都可能受到影響。

雙尾檢定

H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2\ne\sigma_0^2

左尾檢定

H_0:\sigma^2\geq\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2<\sigma_0^2

右尾檢定

H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2>\sigma_0^2

若目標是確認製程變異是否超過容許上限，通常關心右尾檢定；若只是確認變異是否偏離指定值，則使用雙尾檢定。

假設 X₁,…,Xₙ 為來自常態母體 N(μ,σ²) 的獨立樣本。母體平均數 μ 已知時，以 μ 為中心的標準化平方和有 n 個自由度；μ 未知而以樣本平均數 X̄ 估計後，會損失一個自由度。

μ 已知時

\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi_n^2

以 X̄ 估計 μ 後

\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2

利用 (n−1)S²=Σ(Xᵢ−X̄)²

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2

H₀ 下的觀察統計量

\chi_{\mathrm{obs}}^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}

\chi_{\mathrm{obs}}^2<\chi_{\alpha/2,\,n-1}^2\quad\text{或}\quad\chi_{\mathrm{obs}}^2>\chi_{1-\alpha/2,\,n-1}^2

符號	在這組公式中的意義
χ²	卡方分配或卡方統計量
α	顯著水準或信賴區間兩端所使用的尾端機率
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

統計量落在左側或右側的極端拒絕域時，代表樣本變異數相對於 H₀ 指定的 σ₀² 過小或過大。若用已知母體變異數檢查抽樣結果，極端結果也可能表示這批樣本的代表性較低；在品質管理中，則通常直接關心變異是否超過可接受範圍。

若有兩個互相獨立的常態母體，可以使用兩組樣本變異數的比值，檢定兩個母體變異數是否相同。

變異數相等的假設

H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,\qquad H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2

改寫成變異數比

H_0:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1,\qquad H_1:\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\ne1

F 統計量

F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,\,n_2-1}\qquad(H_0\text{ 成立時})

得到 F 值後，可查 F 分配表或由電腦計算 p 值，再判斷是否拒絕兩母體變異數相等的虛無假設。交換分子與分母會使 F 變成 1/F，兩個自由度的位置也要一起交換。

兩組常態樣本的變異數各自標準化後，都會形成卡方變數。在 H₀: σ₁²=σ₂²=σ² 下，將兩個卡方變數各自除以自由度後相除，共同的 σ² 會消去，最後只留下樣本變異數比。

第 1 組的卡方變數

U_1=\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_1-1}^2

第 2 組的卡方變數

U_2=\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_2-1}^2

各自除以自由度後取比值

\frac{U_1/(n_1-1)}{U_2/(n_2-1)}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,\,n_2-1}