Welch ANOVA：變異數不同時的平均數比較 | 變異數分析

Welch ANOVA 用來比較多個獨立組別的母體平均數，但不要求各組具有相同變異數。當各組標準差差異明顯，尤其樣本數也不相等時，它通常比傳統單因子 ANOVA 更適合。

什麼時候考慮 Welch ANOVA？

Welch ANOVA 不是資料偏離常態時的通用替代品。它主要處理變異數不相等；觀察值仍須彼此獨立，各組平均數也應具有可解釋性。資料嚴重偏態、樣本很小或含有強烈離群值時，還要考慮圖形診斷、穩健方法、資料轉換或適合研究問題的無母數方法。

虛無假設

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k

對立假設

H_1:\text{並非所有 }\mu_j\text{ 都相等}

第 j 組平均數的估計變異數約為 sⱼ²/nⱼ。樣本數較多或樣本變異數較小的組，其平均數估計較精確，因此 Welch ANOVA 給它較大的權重。

第 j 組權重

w_j=\frac{n_j}{s_j^2}

總權重

W=\sum_{j=1}^{k}w_j

加權總平均

\bar X_w=\frac{\sum_{j=1}^{k}w_j\bar X_j}{W}

先計算各組平均數相對於加權總平均的加權差異，再用一個反映變異數估計不確定性的修正項調整分母與自由度。令 A 表示修正量：

變異數不等的修正量

A=\sum_{j=1}^{k}\frac{\left(1-w_j/W\right)^2}{n_j-1}

Welch F 統計量

F_W=\frac{\dfrac{1}{k-1}\sum_{j=1}^{k}w_j(\bar X_j-\bar X_w)^2}{1+\dfrac{2(k-2)}{k^2-1}A}

分子自由度

\nu_1=k-1

近似分母自由度

\nu_2=\frac{k^2-1}{3A}

由 F 分配與兩個自由度求得右尾 p 值。若 p 小於事先設定的顯著水準，結論仍是「至少一組母體平均數不同」，不能直接指出差異位於哪些組別。

Welch ANOVA 顯著後，不能直接使用假設共同 MSE 的 Fisher's LSD、一般 pooled t 或傳統 Tukey HSD。若要進行所有組別的兩兩比較，常使用 Games–Howell 方法，因為它允許各組變異數與樣本數不同，並對多重比較作出調整。