Kruskal–Wallis 檢定 | 無母數分析

Kruskal–Wallis 檢定用於比較三組以上彼此獨立的樣本。它是單因子 ANOVA 的等級版本：先把所有觀察值合併排序，再判斷各組的等級是否集中在不同位置。

研究設計與虛無假設

H_0:F_1=F_2=\cdots=F_k\qquad H_1:\text{至少一組分布不同}

虛無假設的一般寫法是各組分布相同。若各組形狀相似而主要差異是位置平移，才可進一步把它理解成各組位置或中位數相同。

假設共有 k 組，第 i 組有 nᵢ 筆，總樣本數 N=Σnᵢ。先暫時拿掉組別標籤，把 N 筆資料由小到大排成 1～N；相同數值使用它們應占名次的平均等級。完成排序後，再把每個等級放回原來組別。

總樣本數

N=\sum_{i=1}^{k}n_i

第 i 組等級和

R_i=R_{i1}+R_{i2}+\cdots+R_{in_i}

第 i 組平均等級

\bar R_i=\frac{R_i}{n_i}

全部等級為 1,2,…,N，其總和是 N(N+1)/2；再除以 N，就得到所有資料的平均等級 (N+1)/2。H₀ 下，各組只是從同一分布取得的樣本，所以每組平均等級都應在這個共同中心附近。

全部等級總和

1+2+\cdots+N=\frac{N(N+1)}2

全部資料的平均等級

\bar R_{\cdot}=\frac{N+1}{2}

檢定統計量把每組平均等級與共同中心的距離平方，再依該組樣本數加權。若所有組平均等級都接近 (N+1)/2，H 會很小；組間偏離愈大，H 就愈大。

以平均等級表示

H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^{k}n_i\left(\bar R_i-\frac{N+1}{2}\right)^2

以等級和表示

H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^{k}\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)

兩個公式完全等價：把 R̄ᵢ=Rᵢ/nᵢ 代入第一式並展開平方，再利用 ΣRᵢ=N(N+1)/2，就會得到第二式。第一式容易理解統計量的來源；第二式通常較方便計算。

H₀ 下，各組平均等級只會因隨機分組而在共同中心附近波動。樣本足夠時，這個加權平方偏離量近似卡方分布。k 組等級和並不能各自自由改變，因為它們的總和固定為 N(N+1)/2；知道前 k−1 組後，最後一組就被總和限制決定，因此自由度為 k−1。

H\overset{\cdot}{\sim}\chi^2_{k-1}

若資料有相同數值，它們使用平均等級，會使實際等級變異小於沒有 ties 的 1～N。直接使用未修正 H 會錯估虛無分配，因此要依每一組 ties 的大小 tⱼ 修正。

ties 修正因子

C=1-\frac{\sum_j(t_j^3-t_j)}{N^3-N}

修正後統計量

H_{\mathrm{corrected}}=\frac{H}{C}

沒有 ties 時，每個 tⱼ=1，修正項為 0，因此 C=1；有 ties 時，統計軟體通常會自動套用修正，但報告時仍應說明資料是否有大量相同等級。

Kruskal–Wallis 是整體檢定。顯著結果只表示至少一組的等級分布不同，不能直接宣稱每兩組都不同。接著需要進行適合等級資料的事後比較，例如 Dunn's test，並控制多重比較造成的整體型一誤差。

兩者都先回答「是否至少有一組不同」，再處理差異位於哪些組。Kruskal–Wallis 並不是看到非常態就一定取代 ANOVA；選擇仍要依資料尺度、離群值、分布形狀、變異情況與研究問題判斷。