中位數檢定 | 無母數分析 | 生物統計學習筆記

中位數檢定（median test，常稱 Mood's median test）用於比較兩個獨立樣本的母體位置。它先用兩組合併資料的中位數把觀察值分成上、下兩側，再比較兩組落在同一側的比例是否相同。

中位數檢定適用什麼研究設計？

這裡比較的是兩組彼此獨立的資料，例如兩種治療分別施用在不同受試者身上。若同一名受試者接受兩次測量，資料是成對的，應考慮 Sign test 或 Wilcoxon signed-rank test，而不是把兩次測量當成兩個獨立樣本。

設計	適合的方法
兩組獨立樣本，只比較 pooled median 兩側比例	Median test
兩組獨立樣本，使用全部等級資訊	Wilcoxon rank-sum / Mann–Whitney U
單一樣本或成對樣本	Sign test 或 Wilcoxon signed-rank

從虛無假設開始建立 2×2 表

令兩組樣本數分別為 n₁、n₂。把兩組資料合併後求 pooled median，再令 m₁、m₂ 分別為第 1、2 組落在指定一側（例如高於中位數）的個數。中位數檢定的正式問題是兩組母體中位數是否相同；在 H₀ 下，組別標籤不應改變觀察值落在 pooled median 上、下兩側的比例。若兩組完整分布相同，當然也會得到這個結果，但檢定本身不等於比較分布的所有細節。

H_0:\eta_1=\eta_2\qquad H_1:\eta_1\ne\eta_2

	高於 pooled median	低於 pooled median	合計
第 1 組	m₁	n₁−m₁	n₁
第 2 組	m₂	n₂−m₂	n₂
合計	M=m₁+m₂	n₁+n₂−M	n₁+n₂

落在 pooled median 上的觀察值必須依事先規則處理；常見作法是排除這些 ties，再以剩餘有效樣本建立表格。若 ties 很多，結果可能對處理方式敏感，應在報告中說明。

為什麼會得到超幾何機率？

在 H₀ 下固定三個邊際：第 1 組共有 n₁ 筆、第 2 組共有 n₂ 筆，且 pooled median 指定側共有 M=m₁+m₂ 筆。問題變成：從 n₁+n₂ 個位置中選出 M 個位於該側的位置時，其中恰有 m₁ 個落在第 1 組的機率是多少？

有利配置數

\binom{n_1}{m_1}\binom{n_2}{m_2}

全部配置數

\binom{n_1+n_2}{m_1+m_2}

觀察到這個配置的機率

P(M_1=m_1\mid M)=\frac{\binom{n_1}{m_1}\binom{n_2}{m_2}}{\binom{n_1+n_2}{m_1+m_2}}

這個式子給的是某一個配置的機率。求雙尾 p 值時，還要把在 H₀ 下與觀察表同樣或更不相容的 2×2 表機率加總；不能只把觀察表本身的機率當成 p 值。計算方式與 Fisher's exact test 相同。

pooled median 兩側各有多少資料？

若合併後共有 N=n₁+n₂ 筆、沒有等於中位數的 ties，N 為偶數時兩側各有 N/2 筆；N 為奇數時，中間那一筆本身就是中位數，移除後兩側各有 (N−1)/2 筆。

N 為偶數

m_1+m_2=\frac N2

N 為奇數並移除中位數

m_1+m_2=\frac{N-1}{2}

如果多筆資料恰好等於 pooled median，就不能只用奇偶性決定有效總數；必須先依規則處理這些 ties，再重新計算兩側合計。

大樣本如何使用兩比例差的常態近似？

樣本較大時，可以比較兩組落在指定側的樣本比例 m₁/n₁ 與 m₂/n₂。H₀ 下兩組使用同一個 pooled proportion p̂，q̂=1−p̂。

兩組樣本比例差

\hat p_1-\hat p_2=\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2}

合併比例

\hat p=\frac{m_1+m_2}{n_1+n_2},\qquad\hat q=1-\hat p

近似標準誤

SE_0=\sqrt{\hat p\hat q\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}

檢定統計量

Z=\frac{m_1/n_1-m_2/n_2}{\sqrt{\hat p\hat q(1/n_1+1/n_2)}}\approx N(0,1)

這個近似式可從兩個樣本比例差得到：H₀ 下 E(p̂₁−p̂₂)=0；若先以共同成功機率 p 近似兩組計數，則 Var(p̂₁−p̂₂)=pq(1/n₁+1/n₂)，再用 pooled p̂ 估計未知的 p。小樣本或期望次數不足時，應使用精確方法。

中位數檢定到底能得出什麼結論？

拒絕 H₀ 表示兩組落在 pooled median 兩側的比例不同，支持兩組分布位置存在差異。若要直接解釋為母體中位數不同，還要考慮兩組分布形狀、離散程度與 ties；不拒絕 H₀ 也不代表兩組分布完全相同。

確認兩組樣本彼此獨立。
合併資料求 pooled median，並說明等於中位數的觀察值如何處理。
建立 pooled median 上、下兩側的 2×2 表。
小樣本使用條件式超幾何精確檢定；樣本充足時可使用卡方或兩比例 Z 近似。
報告兩組樣本數、兩側計數、檢定方法、p 值與效果方向。