t 檢定概念 | Z 檢定與 t 檢定 | 生物統計學習筆記

t 檢定（t test）用來檢驗母體平均數或平均數差。它和 Z 檢定具有同一個基本結構：先計算觀察到的差異，再用這個差異的標準誤進行標準化。兩者真正的分界，不是公式外觀，而是母體標準差 σ 是否已知。

先從 Z 檢定開始

對個別觀察值而言，Z 分數描述 Xi 距離母體平均數 μ 有多少個母體標準差。研究樣本平均數時，則必須改用樣本平均數的標準誤 σ/√n。

個別觀察值的 Z 分數

Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}

抽樣平均數的中心

E(\bar X)=\mu

抽樣平均數的標準誤

\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}

平均數的 Z 統計量

Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}

在 H₀: μ=μ₀ 成立且抽樣分配為常態或可合理近似常態時，這個 Z 統計量服從標準常態分配，因此可利用 Z 分配求臨界值與 p 值。

完整母體往往無法全部觀察，因此母體平均數 μ 未知時，母體標準差 σ 通常也未知。我們只能由同一份樣本計算樣本標準差 s，作為 σ 的估計。

樣本變異數

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2

樣本標準差

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}}

估計後的標準誤

\widehat{\operatorname{SE}}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}

如果只是把 Z 公式中的 σ 換成 s，公式外觀看似只改了一個符號；但 σ 是固定的母體參數，s 卻是隨樣本變動的隨機變數。要理解 t 分配為何出現，必須把這一層隨機性寫出來。以下假設 X₁,…,Xₙ 為來自常態母體的獨立樣本。

平均數標準化後為標準常態

Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)

樣本變異數形成卡方變數

U=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}

常態樣本下兩者互相獨立

Z\perp U

t 分配的建立方式

T=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}\sim t_{n-1}

把 Z 與 U 的定義完整代回去，可以看到未知的 σ 如何被消去：

代入 Z 與 U

T=\frac{\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}}{\sqrt{\dfrac{(n-1)s^2/\sigma^2}{n-1}}}

化簡根號中的式子

\sqrt{\frac{(n-1)s^2/\sigma^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}}=\frac{s}{\sigma}

消去 σ

T=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\cdot\frac{\sigma}{s}=\frac{\bar X-\mu}{s/\sqrt n}

單一樣本 t 統計量

t=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n},\qquad \nu=n-1

t 統計量的分母使用 s，而 s 的穩定程度取決於估計它時有多少獨立資訊。自由度較低時，s 的波動較大，t 分配必須配置更多尾端機率；自由度增加後，s 逐漸穩定，t 分配也逐漸接近標準常態分配。

t_\nu\xrightarrow[\nu\to\infty]{d}N(0,1)

符號	在這組公式中的意義
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

三種常見 t 檢定都在比較平均數，但研究設計不同，真正拿來形成 t 統計量的『差異』與標準誤也不同。不能只因為都有兩欄數字，就使用相同公式。