t 分配 | 隨機變數的機率分配 | 生物統計學習筆記

t 分配（t-distribution），也稱為 Student's t distribution，用來描述母體標準差未知時，樣本平均數經標準化後的變動。它由 William Sealy Gosset 以「Student」為筆名發表，因此得名。

t 分配如何形成？#

t 分配可以由一個標準常態變數 Z，以及一個與 Z 獨立、自由度為 ν 的卡方變數 U 建立。分母中的 U/ν 反映使用樣本資料估計變異數所帶來的不確定性。

由標準常態與卡方變數建立

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_{\nu}

單一樣本平均數的 t 統計量

T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}

t 分配和標準常態分配都以 0 為中心、左右對稱，也具有鐘形外觀。差別在於 t 分配的尾端較厚，表示離中心較遠的值具有較高機率。這是在母體標準差未知、必須使用樣本標準差估計時，對額外不確定性的反映。

自由度較低通常代表估計標準差所依賴的獨立資訊較少，因此不確定性較大，t 分配的尾端也較厚。隨著樣本數與自由度增加，樣本標準差對母體標準差的估計通常更穩定，t 分配便逐漸接近標準常態分配。

自由度為 ν 的 t 分配具有以下機率密度函數。公式以 0 為中心且只含 t²，因此正負相同大小的 t 值具有相同密度，這正對應到 t 分配左右對稱的特性。

f(t)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\nu/2\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\qquad -\infty<t<\infty

補充：t 密度函數的推導

令 Z 服從標準常態分配，U 服從自由度為 ν 的卡方分配，而且 Z 與 U 彼此獨立。定義 T=Z/√(U/ν)。為了求 T 的密度，同時保留一個輔助變數 V=U。

變數轉換

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}},\qquad V=U

反向表示

Z=T\sqrt{V/\nu},\qquad U=V

Jacobian

\left|\frac{\partial(z,u)}{\partial(t,v)}\right|=\sqrt{\frac{v}{\nu}}

獨立性使 Z 與 U 的聯合密度可以寫成兩個密度的乘積。進行變數轉換後，再乘上 Jacobian，便得到 T 與 V 的聯合密度。

f_{T,V}(t,v)=f_Z\!\left(t\sqrt{v/\nu}\right)f_U(v)\sqrt{\frac{v}{\nu}}

把標準常態密度與卡方密度代入，再對所有可能的 v>0 積分，就能只留下 T 的邊際密度。

f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}\,2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}\int_0^{\infty}v^{(\nu+1)/2-1}\exp\!\left[-\frac{v}{2}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)\right]dv

積分部分具有 Gamma 積分的形式。利用下列關係，可以把積分直接化簡。

\int_0^{\infty}v^{a-1}e^{-bv}\,dv=\frac{\Gamma(a)}{b^a},\qquad a>0,\ b>0

f_T(t)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\nu/2\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\qquad -\infty<t<\infty

因此，t 密度確實是從標準常態密度、卡方密度與 T 的定義推導而來。Gamma 函數之所以出現，是因為把卡方變數積分掉時，積分正好具有 Gamma 函數的形式。

補充：Gamma 函數是什麼？

Gamma 函數（Gamma function）把階乘的概念延伸到正整數以外的數值。對正整數 n 而言，Γ(n)=(n−1)!；因此它可以在含有半數自由度等非整數參數的密度函數中，扮演類似階乘的角色。

Gamma 函數的定義

\Gamma(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx,\qquad a>0

遞迴關係

\Gamma(a+1)=a\,\Gamma(a)

與階乘的關係

\Gamma(n)=(n-1)!,\qquad n=1,2,3,\ldots

常見的半整數值

\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}

在 t 分配的密度函數中，Gamma 函數主要出現在前方的常數係數，用來依自由度調整曲線，並確保整條密度曲線下的總面積等於 1。理解 t 分配時不必手動計算 Gamma 函數，但知道它的角色，就不會把 Γ 當成沒有意義的裝飾符號。