F 分配 | 隨機變數的機率分配 | 生物統計學習筆記

F 分配（F-distribution）以 R. A. Fisher 的姓氏首字母命名。它描述兩個彼此獨立的卡方變數，各自除以自由度後再取比值所形成的分配，因此主要用來比較兩個獨立變異量的相對大小。

F 分配如何形成？#

令 U 與 V 為兩個彼此獨立的卡方變數，其自由度分別為 ν₁ 與 ν₂。將 U 與 V 各自除以其自由度後相除，所得的 F 便服從分子自由度為 ν₁、分母自由度為 ν₂ 的 F 分配。

兩個獨立的卡方變數

U\sim\chi^2_{\nu_1},\qquad V\sim\chi^2_{\nu_2},\qquad U\perp V

形成 F 分配

F=\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}

符號	代表意義
U、V	兩個彼此獨立的卡方變數
ν₁	分子自由度，屬於 U
ν₂	分母自由度，屬於 V
U/ν₁、V/ν₂	各卡方變數除以自由度後的平均變異量
Fν₁,ν₂	具有分子、分母兩個自由度的 F 分配
⊥	表示兩個隨機變數彼此獨立

為什麼 F 值不會小於 0？#

U 與 V 都是平方和，因此不會是負數；它們除以正的自由度後再相除，F 也只能取正值。F=1 表示分子與分母的平均變異量相同；F>1 表示分子的平均變異量較大；F<1 則表示分母較大。

F\sim F_{\nu_1,\nu_2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{F}\sim F_{\nu_2,\nu_1}

符號	在這組公式中的意義
~	服從某個機率分配
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

兩個自由度如何影響形狀？#

F 分配通常右偏，右側具有長尾，其具體形狀同時由分子自由度 ν₁ 與分母自由度 ν₂ 決定。兩個自由度較低時，變異數估計較不穩定，分配較分散、右尾較厚；自由度增加後，比值通常更集中在 1 附近。

分子與分母自由度分別為 2 與 4、4 與 6、9 與 9、12 與 12 的 F 分配密度曲線 — F 分配通常右偏；分子與分母自由度增加時，曲線逐漸更集中在 F=1 附近。圖例依序標示分子、分母自由度。來源：本站依 F 分配密度函數製作

F 分配的機率密度函數#

分子自由度為 ν₁、分母自由度為 ν₂ 的 F 分配具有以下機率密度函數。兩個自由度同時出現在係數、次方與分母中，因此任一自由度改變，都會改變曲線形狀。

f(x)=\frac{\Gamma\!\left((\nu_1+\nu_2)/2\right)}{\Gamma(\nu_1/2)\Gamma(\nu_2/2)}\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2}x^{\nu_1/2-1}\left(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{-(\nu_1+\nu_2)/2},\quad x>0

符號	代表意義
f(x)	F 分配在 x 位置的機率密度
x	F 隨機變數的可能值，必須大於 0
ν₁、ν₂	分子自由度與分母自由度
Γ	Gamma 函數；用於密度函數的正規化係數

補充：F 密度函數的推導

第一步：從兩個獨立卡方變數出發

令 U~χ²ν₁、V~χ²ν₂，且 U 與 V 獨立。定義 X=(U/ν₁)/(V/ν₂)，並保留輔助變數 Y=V。

變數轉換

X=\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2},\qquad Y=V

反向表示

U=\frac{\nu_1}{\nu_2}XY,\qquad V=Y

Jacobian

\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=\frac{\nu_1}{\nu_2}y

因為 U 與 V 獨立，聯合密度等於兩個卡方密度的乘積。代入反向轉換並乘上 Jacobian 後，得到 X 與 Y 的聯合密度。

f_{X,Y}(x,y)=f_U\!\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}xy\right)f_V(y)\frac{\nu_1}{\nu_2}y

第二步：把輔助變數 Y 積分掉

對所有 y>0 積分，便可得到 X 的邊際密度。整理與 y 有關的部分後，積分再次呈現 Gamma 積分的形式。

f_X(x)=\int_0^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy

\int_0^{\infty}y^{(\nu_1+\nu_2)/2-1}\exp\!\left[-\frac{y}{2}\left(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x\right)\right]dy

使用 Gamma 積分公式化簡並整理常數後，就得到正文中的 F 密度函數。因此，F 密度並不是額外假設出來的，而是由兩個獨立卡方密度、比值定義與變數轉換推導而來。

符號	在推導中的意義
X	推導中的 F 隨機變數
Y	保留的輔助變數，等於 V
fX,Y	X 與 Y 的聯合密度
∂(u,v)/∂(x,y)	變數轉換的 Jacobian 行列式

F 分配與 t 分配的關係#

若 T 服從自由度為 ν 的 t 分配，將 T 平方後便服從分子自由度為 1、分母自由度為 ν 的 F 分配。這是因為 T 的分子 Z 平方後服從自由度 1 的卡方分配，而分母原本就含有 U/ν。

從 t 的定義開始

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}},\qquad Z^2\sim\chi_1^2

平方後形成 F 分配

T^2=\frac{Z^2/1}{U/\nu}\sim F_{1,\nu}

為什麼雙尾機率會合併？#

t 分配以 0 為中心且左右對稱。若雙尾檢定的總顯著水準為 α，左右兩尾各占 α/2。平方後，T≤−|t| 與 T≥|t| 這兩個尾端都會映到 T²≥t²，因此原本兩側的機率會合併成 F 分配右側的一個尾端；這就是原文所說「兩邊重疊，所以機率差兩倍」的精確意義。

兩側事件平方後合併

P(|T|\ge t)=P(T\le -t)+P(T\ge t)=P(T^2\ge t^2)

雙尾 t 與右尾 F

P(|T_\nu|\ge t_{\nu,1-\alpha/2})=\alpha=P(F_{1,\nu}\ge t_{\nu,1-\alpha/2}^{\,2})

臨界值關係

F_{1,\nu;1-\alpha}=t_{\nu;1-\alpha/2}^{\,2}

補充：由密度函數推導 T² 服從 F 分配

第一步：將 F 分配的分子自由度設為 1

從 F 分配的密度函數出發，令分子自由度 ν₁=1、分母自由度 ν₂=ν。先直接代入，再使用 Γ(1/2)=√π 與 (1/ν)^(1/2)=1/√ν 整理係數。

F 分配的一般密度

f_{F_{\nu_1,\nu_2}}(y)=\frac{\Gamma((\nu_1+\nu_2)/2)}{\Gamma(\nu_1/2)\Gamma(\nu_2/2)}\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2}y^{\nu_1/2-1}\left(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}y\right)^{-(\nu_1+\nu_2)/2}

代入 ν₁=1、ν₂=ν

f_{F_{1,\nu}}(y)=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\Gamma(1/2)\Gamma(\nu/2)}\left(\frac{1}{\nu}\right)^{1/2}y^{-1/2}\left(1+\frac{y}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}

使用 Γ(1/2)=√π 化簡

f_{F_{1,\nu}}(y)=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma(\nu/2)}y^{-1/2}\left(1+\frac{y}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\quad y>0

第二步：和 t 分配的密度比較

自由度為 ν 的 t 分配密度如下。若把其中的 t² 換成 y，除了 y^(-1/2) 之外，其餘部分正好與 F(1,ν) 的密度相同。這個額外因子不是任意補上的常數，而是平方轉換改變橫軸尺度後產生的 Jacobian 修正。

f_{T_\nu}(t)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma(\nu/2)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}

第三步：平方轉換會把兩個 t 值映到同一個 F 值

令 Y=T²。對每個 y>0，都有 t=√y 與 t=−√y 兩個來源；因此 Y 的密度必須同時收集 t 分配左右兩側的機率。反向轉換 t=±√y 的導數絕對值都是 1/(2√y)。

平方轉換與兩個反函數

Y=T^2,\qquad t_1=\sqrt{y},\quad t_2=-\sqrt{y}

橫軸尺度的修正

\left|\frac{dt_1}{dy}\right|=\left|\frac{dt_2}{dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt{y}}

平方後的密度

f_Y(y)=\frac{f_T(\sqrt{y})+f_T(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}

因為 t 分配左右對稱，f_T(−√y)=f_T(√y)，兩側相加產生的 2，會和導數中的 2 抵消，最後留下 1/√y=y^(-1/2)。

利用 t 分配的對稱性

f_Y(y)=\frac{2f_T(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}}=f_T(\sqrt{y})y^{-1/2}

代入 t 密度後

f_Y(y)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma(\nu/2)}y^{-1/2}\left(1+\frac{y}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}=f_{F_{1,\nu}}(y)

推導結果

T\sim t_\nu\quad\Longrightarrow\quad T^2\sim F_{1,\nu}

符號	在推導中的意義
T	自由度為 ν 的 t 隨機變數
Y=T²	平方轉換後的非負隨機變數
fT	t 分配的機率密度函數
fY	平方後 Y 的機率密度函數
1/(2√y)	由 t=±√y 對 y 微分得到的 Jacobian 修正
F(1,ν)	分子自由度 1、分母自由度 ν 的 F 分配

F 可以看成 t 的推廣嗎？#

在分子自由度為 1 時，F 統計量確實就是某個 t 統計量的平方，因此 F 檢定可視為把這個雙尾 t 檢定改寫成只看正值的右尾檢定。更一般的 F 分配允許分子自由度大於 1，可以同時檢定多個效果；從這個角度，可把 F 檢定看成平方 t 檢定往多個自由度的推廣，但不能說所有 F 分配都等同於某個 t 分配。

比較方式	回答的問題	保留的資訊
整體 F 檢定	多組平均數是否至少有一組不同？	判斷整體差異，但不直接指出哪幾組不同
兩組 t 檢定	指定的兩組平均數是否不同？	可保留差異方向並提供該組對的細部資訊
事後成對比較	整體 F 顯著後，差異出現在哪些組別？	進一步比較多個組對，但需要校正多重比較造成的第一類錯誤膨脹

因此，多組資料可以先用 F 檢定回答「整體是否存在差異」，再用成對 t 型比較或其他事後比較找出「哪些組不同」。你原文所說反覆挑兩組比較可以取得更詳細資訊，核心是對的；需要補上的條件是不能直接做許多未校正的 t 檢定，通常要使用 Tukey、Bonferroni、Holm 等多重比較方法控制整體錯誤率。

F 分配常用在哪裡？#

比較兩個母體變異數
ANOVA 中比較組間變異與組內變異
檢定迴歸模型整體是否具有解釋力
比較巢狀模型增加參數後是否顯著改善配適
建立部分變異數相關的信賴區間或檢定