指數分配 | 隨機變數的機率分配

指數分配（exponential distribution）是一種連續型機率分配，常用來描述：事件以固定的平均發生率、彼此獨立地出現時，從現在開始直到下一次事件發生需要等待多久。

什麼情況適合使用？#

例如等待下一通電話、下一位顧客抵達，或設備在固定失效率假設下的失效時間。使用指數分配時，除了資料必須代表等待時間，也要考慮事件的平均發生率是否大致固定，以及不同時間區段內的事件是否可視為獨立。

令隨機變數 X 表示等待下一次事件的時間，若事件的平均發生率為 λ，則可記為 X 服從參數 λ 的指數分配。

分配記法

X\sim\operatorname{Exp}(\lambda),\qquad \lambda>0

機率密度函數

f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}

密度在 x=0 時為 f(0)=λ，之後隨等待時間增加而下降。λ 越大，代表事件發生得越頻繁，曲線起點越高、下降越快，典型等待時間也越短；λ 越小則相反。

指數分配是連續型分配，所以單一時間點的機率為 0。要計算「在某段時間內發生」或「超過某段時間仍未發生」，必須使用曲線下的面積。

累積分布函數

F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge0

存活函數

S(x)=P(X>x)=e^{-\lambda x},\qquad x\ge0

落在一段區間內

P(a<X\le b)=F(b)-F(a)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}

發生率與平均等待時間互為倒數。λ 越大，等待時間的平均值與變異程度都越小。

期望值

E(X)=\frac{1}{\lambda}

變異數與標準差

\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2},\qquad \operatorname{SD}(X)=\frac{1}{\lambda}

指數分配具有無記憶性（memoryless property）：在已經等待 s 時間而事件仍未發生的條件下，還要再等待超過 t 的機率，與一開始就等待超過 t 的機率相同。

P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)=e^{-\lambda t}

符號	在這組公式中的意義
exp、e	指數函數；是自然對數 ln 的反函數

補充：從小時間區間推導指數分配

把長度為 x 的等待時間切成 n 個很短的區間，每段長度為 Δt=x/n。若事件以固定發生率 λ 出現，則在一小段內發生事件的機率約為 λx/n，沒有事件的機率約為 1-λx/n。

每一小段沒有事件

P(\text{no event in }\Delta t)\approx 1-\lambda\frac{x}{n}

前 n 段都沒有事件

P(X>x)\approx\left(1-\lambda\frac{x}{n}\right)^n

令區間越切越細

S(x)=P(X>x)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\lambda\frac{x}{n}\right)^n=e^{-\lambda x}

這個極限首先得到的是存活函數：到時間 x 為止仍沒有事件發生的機率。用 1 減去它可得到累積分布函數，再對 x 微分便得到機率密度函數。

由存活函數得到累積機率

F(x)=1-S(x)=1-e^{-\lambda x}

由累積機率得到密度

f(x)=F'(x)=-S'(x)=\lambda e^{-\lambda x}

補充：為什麼平均等待時間是 1/λ？

對非負隨機變數而言，期望值可以寫成存活函數下的面積。將 S(x)=e^{-λx} 代入積分，就得到 1/λ。

E(X)=\int_0^{\infty}S(x)\,dx=\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}\,dx=\frac{1}{\lambda}

若 N(t) 表示時間 t 內的事件次數，且 N(t) 服從平均數為 λt 的卜瓦松分配，那麼等待第一次事件的時間 X 便服從參數 λ 的指數分配。等待超過 t，等價於時間 t 內一次事件都沒有發生。

事件次數

N(t)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)

等待時間

P(X>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}

在存活分析中，指數分配相當於危險率固定為 λ 的模型。危險率表示已存活到時間 x 的條件下，接下來一小段時間內發生事件的瞬時速率。

h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}=\lambda