二元配置ANOVAとMANOVA | 分散分析 | 生物統計学学習ノート

二元配置ANOVAと多変量分散分析（MANOVA）は異なる方向の拡張です。二元配置ANOVAは一つの量的目的変数に対する二つのカテゴリー因子を扱い、MANOVAは関連する複数の量的目的変数を同時に扱います。

二元配置ANOVA：二因子を同時に調べる#

治療法を因子A、性別を因子B、血圧を目的変数とすれば、Aの主効果、Bの主効果、A×B交互作用を同じモデル内で検定できます。

Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}

A主効果

H_{0,A}:\alpha_1=\cdots=\alpha_a=0

B主効果

H_{0,B}:\beta_1=\cdots=\beta_b=0

交互作用

H_{0,AB}:(\alpha\beta)_{ij}=0\quad\text{for all }i,j

交互作用が有意なら、一方の因子効果は他方の水準に依存します。たとえば薬剤が一方の性別でだけ有効なら、性別を平均した薬剤主効果だけではデータ構造を隠します。通常は交互作用を先に確認し、その後に主効果を解釈します。

有意な交互作用は、各性別内で治療法を比べるような単純主効果へ追跡します。これらの比較にも多重性調整が必要です。

収縮期血圧、拡張期血圧、心拍数のように、同じ対象から関連する複数の量的結果を測る場合、MANOVAは各群の単一平均ではなく母平均ベクトルを比較します。

第j群の平均ベクトル

\boldsymbol{\mu}_j=(\mu_{j1},\mu_{j2},\ldots,\mu_{jp})^{\mathsf T}

帰無仮説

H_0:\boldsymbol{\mu}_1=\boldsymbol{\mu}_2=\cdots=\boldsymbol{\mu}_k

目的変数ごとに別々のANOVAを行うと多重検定の第一種過誤が増え、結果の組合せとしての差も直接検定できません。MANOVAは目的変数間の共分散を利用します。

単変量ANOVAの群間・群内平方和を、平方和・交差積行列H（効果）とE（誤差）へ拡張し、その固有値から多変量統計量を作ります。

目的変数がほぼ無関係なら統合の利点が乏しく、相関が極端に高ければ同じ概念を重複測定している可能性があります。目的変数はデータを見た後ではなく研究課題から事前に選びます。