一元配置分散分析（One-way ANOVA） | 分散分析

一元配置分散分析（one-way ANOVA）は、互いに独立した3群以上の母平均を一度に比較します。全変動を群間変動と群内変動に分解し、その比から群効果が偶然のばらつきより十分大きいかを判断します。

ANOVAの核：群分けをモデルとして扱う#

F統計量

F=\frac{MS_{\mathrm{between}}}{MS_{\mathrm{within}}}=\frac{MS_M}{MS_E}

H₀の下での分布

F\sim F_{k-1,\,n-k}

第j群の群内平方和

SS_{E,j}=\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_j)^2

全群を合併

SS_E=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_j)^2

共通群内分散の推定

MS_E=\frac{SS_E}{n-k}

群内自由度

\sum_{j=1}^{k}(n_j-1)=n-k

各群が同じ誤差分散を推定しているなら、群ごとの独立な誤差情報を自由度で重み付けして合併できます。この結果がMSEです。

群間

\frac{SS_M}{\sigma^2}\sim\chi^2_{k-1}

群内

\frac{SS_E}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-k}

\frac{(SS_M/\sigma^2)/(k-1)}{(SS_E/\sigma^2)/(n-k)}=\frac{MS_M}{MS_E}\sim F_{k-1,\,n-k}

H₀の下では両方の均方がσ²を推定するため、比は概ね1付近です。群平均が異なるとMSMが増え、Fは右側へ大きくなります。

帰無仮説

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k

対立仮説

H_1:\text{すべての }\mu_j\text{ が等しいわけではない}

同値な表現

H_1:\exists\,j\ne\ell\text{ such that }\mu_j\ne\mu_\ell

第j群平均

\bar X_j=\frac{1}{n_j}\sum_{i=1}^{n_j}X_{ij}

総平均

\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}n_j\bar X_j

母集団モデル

X_{ij}=\mu+\alpha_j+\varepsilon_{ij}

誤差

\varepsilon_{ij}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)

\underbrace{X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot}}_{\text{全偏差}}=\underbrace{\bar X_j-\bar X_{\cdot\cdot}}_{\text{群間}}+\underbrace{X_{ij}-\bar X_j}_{\text{群内}}

群内平方和

SS_E=\sum_j\sum_i(X_{ij}-\bar X_j)^2

群間平方和

SS_M=\sum_j n_j(\bar X_j-\bar X_{\cdot\cdot})^2

全平方和

SS_T=\sum_j\sum_i(X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot})^2

分解

SS_T=SS_M+SS_E

F統計量

F_{\mathrm{obs}}=\frac{MS_M}{MS_E}

右裾p値

p=P\!\left(F_{k-1,\,n-k}\ge F_{\mathrm{obs}}\mid H_0\right)

自由度分解

n-1=(k-1)+(n-k)

等分散を仮定した独立二群では、一元配置ANOVAとpooled t検定は同じ帰無仮説を検定します。

Pooled t

t=\frac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{s_p^2(1/n_1+1/n_2)}}

合併分散

s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

ANOVAのMSE

MS_E=s_p^2

群間均方

MS_M=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)^2}{1/n_1+1/n_2}

結論

\boxed{F=t^2}

不等分散にはWelch ANOVA、二因子なら主効果と交互作用を扱う二元配置ANOVA、複数の量的目的変数ならMANOVA、反復測定には反復測定法や混合モデルを検討します。