Kruskal–Wallis検定 | ノンパラメトリック分析

Kruskal–Wallis検定は独立した三群以上を比較する順位法で、一元配置ANOVAの順位版です。全観測を合併順位付けし、群平均順位が共通中心からどれだけ離れるかを測ります。

研究デザインと仮説#

H_0:F_1=F_2=\cdots=F_k\qquad H_1:\text{少なくとも一群の分布が異なる}

総標本数

N=\sum_{i=1}^{k}n_i

第i群の順位和

R_i=\sum_{j=1}^{n_i}R_{ij}

平均順位

\bar R_i=\frac{R_i}{n_i}

同値は占める順位の平均を使います。全順位の合計はN(N+1)/2、中心は(N+1)/2なので、H₀なら各群平均順位はこの周辺にあります。

順位総和

1+2+\cdots+N=\frac{N(N+1)}2

共通中心

\bar R_{\cdot}=\frac{N+1}{2}

平均順位表示

H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_i n_i\left(\bar R_i-\frac{N+1}{2}\right)^2

順位和表示

H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_i\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)

H\overset{\cdot}{\sim}\chi^2_{k-1}

k群の順位和の総計は固定されるため自由に変化できるのはk−1個です。小標本や極端な不均衡では正確法・置換法を検討します。「各群約5」は近似の目安で、分割表の期待セル度数5とは別条件です。

補正因子

C=1-\frac{\sum_j(t_j^3-t_j)}{N^3-N}

補正H

H_{\mathrm{corrected}}=\frac HC

全体検定の有意性は少なくとも一群が異なることだけを示します。Dunn検定や計画対比を行い、Holm・Bonferroni等で多重性を調整します。