生物統計学 学習ノート概念・導出から実践的な解釈まで

CHAPTER 08 · TOPIC 01

Wilcoxon検定

符号検定、独立二群の順位和検定、対応データの符号付順位検定を区別して学びます。

このページの内容
  1. 符号検定：数値を正負へ変換する
  2. 符号検定のp値と近似
  3. 順位和検定：独立二群を一緒に順位付けする
  4. 順位和の平均、分散、正規近似
  5. 順位和の期待値と分散の由来
  6. 符号付順位検定：方向と距離順位を使う
  7. 符号付順位和の平均、分散、近似
  8. 三方法の選択

Wilcoxon系の順位検定は、原値の正規分布を仮定せず、符号または順位を使って位置の差を調べます。本頁では符号検定、独立二群のWilcoxon順位和（Mann–Whitney U）、一標本・対応データのWilcoxon符号付順位検定を区別します。

方法デザイン使う情報
Sign test一標本または対応差の正負のみ
Rank-sum / Mann–Whitney独立二群全観測の順位
Signed-rank一標本または対応差の絶対値順位と符号

符号検定：数値を正負へ変換する#

一標本差Di=Xi−M0D_i=X_i-M_0
対応差Di=Xi,after−Xi,beforeD_i=X_{i,\mathrm{after}}-X_{i,\mathrm{before}}
符号Zi={−1,Di<00,Di=01,Di>0Z_i=\begin{cases}-1,&D_i<0\\0,&D_i=0\\1,&D_i>0\end{cases}

0差を除いた有効標本数をn、正差数をCとします。H₀では正負が等確率なのでCは二項分布に従います。

両側仮説H0:p=12H1:p≠12H_0:p=\frac12\qquad H_1:p\ne\frac12
帰無分布C∣H0∼Binomial⁡(n,12)C\mid H_0\sim\operatorname{Binomial}\left(n,\frac12\right)
平均と分散E(C)=n2,Var⁡(C)=n4E(C)=\frac n2,\quad\operatorname{Var}(C)=\frac n4

符号検定のp値と近似#

正確両側p値は、観察された偏りと同程度以上に極端な二項確率を両側で合計します。たとえばn=10、C=8なら次式です。

p=2P(C≥8)=2∑k=810(10k)(12)10p=2P(C\ge8)=2\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}\left(\frac12\right)^{10}
大標本ZZ=C−n/2n/4Z=\frac{C-n/2}{\sqrt{n/4}}
両側棄却域∣C−n2∣>z1−α/2n4\left|C-\frac n2\right|>z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac n4}

順位和検定：独立二群を一緒に順位付けする#

  1. 二群のN=n+m観測を合併
  2. 小さい順に1～Nを付け、同値は平均順位
  3. 一方の群の順位を合計してWₛを得る
  4. 群ラベル交換で同程度以上に極端な順位和の確率を求める
Ws=∑i∈group 1RiW_s=\sum_{i\in\mathrm{group\ 1}}R_i

H₀では群ラベルが交換可能です。N順位からn個を第1群へ割り当てる全C(N,n)配置が等確率で、順位和wとなる配置数を数えれば正確分布が得られます。

P(Ws=w)=#(w;n,m)(Nn)P(W_s=w)=\frac{\#(w;n,m)}{\binom{N}{n}}

順位和の平均、分散、正規近似#

帰無期待値E(Ws)=12n(N+1)E(W_s)=\frac12n(N+1)
同順位なしの分散Var⁡(Ws)=112mn(N+1)\operatorname{Var}(W_s)=\frac1{12}mn(N+1)
正規近似Z=Ws−E(Ws)Var⁡(Ws)Z=\frac{W_s-E(W_s)}{\sqrt{\operatorname{Var}(W_s)}}

順位和の期待値と分散の由来#

各順位は全配置中C(N−1,n−1)回選ばれるため、選択割合n/Nと全順位和N(N+1)/2から期待値が得られます。

期待値E(Ws)=nN∑i=1Ni=12n(N+1)E(W_s)=\frac nN\sum_{i=1}^{N}i=\frac12n(N+1)
順位級数∑i=N(N+1)2,∑i2=N(N+1)(2N+1)6\sum i=\frac{N(N+1)}2,\quad\sum i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}6
分散の結論Var⁡(Ws)=112n(N−n)(N+1)=112nm(N+1)\operatorname{Var}(W_s)=\frac1{12}n(N-n)(N+1)=\frac1{12}nm(N+1)

符号付順位検定：方向と距離順位を使う#

  1. 差Dᵢを計算し0差を除く
  2. |Dᵢ|を小さい順に順位付けし同値は平均順位
  3. 元の符号を順位へ戻す
  4. 正順位和T⁺と負順位和T⁻を計算
  5. 正確符号配置または補正済み正規近似でp値を求める
正順位和T+=∑Di>0RiT^+=\sum_{D_i>0}R_i
負順位和T−=∑Di<0RiT^-=\sum_{D_i<0}R_i
固定総和T++T−=n(n+1)2T^++T^-=\frac{n(n+1)}2

H₀では差分布が0を中心に対称で、各絶対順位が正または負になる確率は1/2です。n個の符号には2ⁿ通りの等確率配置があります。

符号付順位和の平均、分散、近似#

期待値E(T+)=n(n+1)4E(T^+)=\frac{n(n+1)}4
同順位なしの分散Var⁡(T+)=n(n+1)(2n+1)24\operatorname{Var}(T^+)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}
正規近似Z=T+−n(n+1)/4n(n+1)(2n+1)/24Z=\frac{T^+-n(n+1)/4}{\sqrt{n(n+1)(2n+1)/24}}

指標Iᵣを順位rが正なら1、負なら0とすればT⁺=ΣrIᵣです。E(Iᵣ)=1/2、Var(Iᵣ)=1/4から線形性により上の式が得られます。

指標表現T+=∑r=1nrIrT^+=\sum_{r=1}^{n}rI_r
符号付き順位和W=T+−T−,E(W)=0W=T^+-T^-,\quad E(W)=0
Wの分散Var⁡(W)=∑r2=n(n+1)(2n+1)6\operatorname{Var}(W)=\sum r^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

三方法の選択#

方法標本関係主なH₀追加条件
Sign一標本／対応正負確率が1/2差の対称性不要
Rank-sum独立二群二群分布が同じ中央値解釈には形状類似
Signed-rank一標本／対応差分布が0中心差分布の対称性