二項分布 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

二項分布（binomial distribution）は、回数が固定され、互いに独立で成功確率が等しい反復試行における成功回数Xの確率分布です。離散型確率分布に分類されます。

二項分布を使う四つの条件#

Xをn回の試行における成功回数、各回の成功確率をpとすると、Xは母数n、pの二項分布に従い、0からnまでの整数だけをとります。

分布の表記

X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)

可能な値

x=0,1,2,\ldots,n

失敗確率

q=1-p

x回の成功とn−x回の失敗からなる一つの指定配列の確率は、各試行確率の積です。成功位置には複数の選び方があるため、n個の位置からx個を選ぶ組合せ数を掛けます。

指定した一配列の確率

p^x(1-p)^{n-x}

ちょうどx回成功する総確率

P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x},\qquad x=0,1,\ldots,n

成功位置の組合せ数

\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}

「高々」「少なくとも」または一定範囲の確率では、条件を満たす複数のxの確率を合計します。少なくともk回の確率は補事象で簡単に計算できます。

高々k回成功

P(X\le k)=\sum_{x=0}^{k}\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}

少なくともk回成功

P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)

各試行は平均p回の成功に寄与するため、n回の総成功回数の平均はnpです。独立な各成功指標の分散p(1−p)を加えるとnp(1−p)になります。

期待値

E(X)=np

分散

\operatorname{Var}(X)=np(1-p)=npq

標準偏差

\operatorname{SD}(X)=\sqrt{np(1-p)}

補足：成功指標から平均と分散を導く

第i試行の成功時にIᵢ=1、失敗時にIᵢ=0とすると、総成功回数は指標の和です。期待値は常に加算でき、独立なら共分散が0なので分散も加算できます。

成功回数

X=I_1+I_2+\cdots+I_n

一試行

E(I_i)=p,\qquad \operatorname{Var}(I_i)=p(1-p)

平均

E(X)=\sum_{i=1}^{n}E(I_i)=np

分散

\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(I_i)=np(1-p)

補足：公式からE(X)とVar(X)を導く

組合せ恒等式で和の前のxまたはx(x−1)を消し、添字を置換して残りを完全な二項確率の和として認識します。その和は1なので式を簡約できます。

期待値の定義

E(X)=\sum_{x=1}^{n}x\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}

組合せ恒等式

x\binom{n}{x}=n\binom{n-1}{x-1}

完全な二項確率和

\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}p^j(1-p)^{(n-1)-j}=1

期待値

E(X)=np

E(X²)を直接求める代わりに、まず階乗モーメントE[X(X−1)]を計算すると、同じ方法で簡単に整理できます。

第2組合せ恒等式

x(x-1)\binom{n}{x}=n(n-1)\binom{n-2}{x-2}

階乗モーメント

E[X(X-1)]=n(n-1)p^2

二次モーメント

E(X^2)=E[X(X-1)]+E(X)=n(n-1)p^2+np

分散

\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=np(1-p)

nが大きく、pが0や1に近すぎなければ、二項分布は釣鐘形の正規分布へ近づきます。nだけでなく、期待される成功数npと失敗数n(1−p)の両方が十分大きいかを確認します。

近似する正規分布

X\approx N\!\left(np,\,np(1-p)\right)

標準化

Z=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)

離散分布を連続分布で近似するため、確率計算では連続性補正を使えます。例えばP(X≤k)では境界をk+0.5へ変更します。

P(X\le k)\approx P(Y\le k+0.5),\qquad Y\sim N\!\left(np,np(1-p)\right)