正規分布とZ分布 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

正規分布（normal distribution）は連続型確率分布で、密度曲線が左右対称の釣鐘形をすることから、ガウス分布（Gaussian distribution）とも呼ばれます。統計学で最も重要な分布の一つで、多くの測定値、標本統計量、統計手法が直接または間接に利用します。

正規分布の形#

正規分布は平均μと分散σ²で決まります。平均は曲線の中心、標準偏差σは広がりを決めます。σが大きいほど広く低く、σが小さいほど狭く高い曲線になります。

正規分布の表記

X\sim N(\mu,\sigma^2)

確率密度関数

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]

平均と標準偏差が異なる正規分布は、一つの確率表を共用しにくいという問題があります。Xから平均を引き、標準偏差で割ると、標準正規変数Zへ変換できます。これを標準化（standardization）と呼びます。

標準化

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

標準正規分布

Z\sim N(0,1)

Zスコアは、観測値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z=1.5なら平均より1.5標準偏差上、z=−2なら2標準偏差下です。標準化は尺度を変えるだけで、値の相対的な位置や分布の形は変えません。

正規分布は連続型なので、1点の確率は0です。実際に計算するのは区間の曲線下面積です。P(a≤X≤b)は、Xがaからbの間に入る確率を表します。

1点の確率

P(X=x)=0

区間確率

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

総面積

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

標準正規分布の累積分布関数を通常Φ(z)と書き、Zがz以下となる左側確率を表します。従来のZ表はこの累積面積を示すことが多いものの、左側、右側、平均からzまでのどの面積を示す表かを確認する必要があります。

左側累積確率

\Phi(z)=P(Z\le z)

左右対称の関係

\Phi(z)=1-\Phi(-z)

右裾確率

P(Z>z)=1-\Phi(z)

一部の生体測定値は、特定の集団と条件の下で正規分布に近づくことがあります。しかし連続データだからという理由だけで正規性を仮定してはいけません。研究背景、グラフ、診断法を合わせて判断します。

χ²、t、Fは互いに無関係な曲線ではありません。独立な標準正規変数から出発し、二乗、加算、除算、比を通して構成できます。この関係は、分散推定、t検定、カイ二乗検定、ANOVAを理解する共通基盤です。

二乗和：χ²分布

U=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i^2\sim\chi^2_{\nu}

標準正規を推定標準誤差で割る：t分布

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_{\nu}

標準化した二つの変動量の比：F分布

F=\frac{U_1/\nu_1}{U_2/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}