t分布 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

t分布（t-distribution）はStudentのt分布とも呼ばれ、母標準偏差が未知の場合に、標本平均を標準化した値の変動を記述します。William Sealy Gossetが「Student」という筆名で発表したことから、この名が付きました。

t分布はどのように作られるか？#

t分布は、標準正規変数Zと、Zから独立で自由度νのカイ二乗変数Uから構成できます。分母のU/νは、標本データから分散を推定することによる不確実性を表します。

標準正規変数とカイ二乗変数から構成

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_{\nu}

1標本平均のt統計量

T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}

t分布と標準正規分布はいずれも0を中心に左右対称で、釣鐘形をしています。違いはt分布の裾が厚く、中心から離れた値が現れる確率がより高いことです。これは母標準偏差が未知で、標本標準偏差を使って推定する際の追加の不確実性を反映しています。

自由度が低いと、標準偏差の推定に使える独立情報が少なく、不確実性が大きいため、t分布の裾も厚くなります。標本サイズと自由度が増えるほど、標本標準偏差による母標準偏差の推定は一般に安定し、t分布は標準正規分布へ近づきます。

自由度νのt分布は次の確率密度関数をもちます。式は0を中心とし、t²だけを含むため、絶対値が同じ正負のt値は同じ密度になります。これはt分布の左右対称性に対応します。

f(t)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\nu/2\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\qquad -\infty<t<\infty

補足：t密度関数の導出

Zを標準正規分布、Uを自由度νのカイ二乗分布に従い、両者は独立とします。T=Z/√(U/ν)と定義し、Tの密度を求めるため補助変数V=Uも残します。

変数変換

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}},\qquad V=U

逆変換

Z=T\sqrt{V/\nu},\qquad U=V

Jacobian

\left|\frac{\partial(z,u)}{\partial(t,v)}\right|=\sqrt{\frac{v}{\nu}}

独立性により、ZとUの同時密度は二つの密度の積で表せます。変数変換後にJacobianを掛けると、TとVの同時密度が得られます。

f_{T,V}(t,v)=f_Z\!\left(t\sqrt{v/\nu}\right)f_U(v)\sqrt{\frac{v}{\nu}}

標準正規密度とカイ二乗密度を代入し、可能なすべてのv>0について積分すると、Tだけの周辺密度が残ります。

f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\nu}\,2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}\int_0^{\infty}v^{(\nu+1)/2-1}\exp\!\left[-\frac{v}{2}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)\right]dv

積分部分はGamma積分の形をしています。次の関係を利用して直接簡約できます。

\int_0^{\infty}v^{a-1}e^{-bv}\,dv=\frac{\Gamma(a)}{b^a},\qquad a>0,\ b>0

f_T(t)=\frac{\Gamma\!\left((\nu+1)/2\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\nu/2\right)}\left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2},\qquad -\infty<t<\infty

したがって、t密度は標準正規密度、カイ二乗密度、Tの定義から導かれます。Gamma関数が現れるのは、カイ二乗変数を積分消去する部分がGamma関数の形をしているためです。

補足：Gamma関数とは？

Gamma関数は階乗の概念を正整数以外へ拡張します。正整数nではΓ(n)=(n−1)!となるため、自由度の半分など非整数の母数を含む密度関数で、階乗に似た役割を果たします。

Gamma関数の定義

\Gamma(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx,\qquad a>0

漸化式

\Gamma(a+1)=a\,\Gamma(a)

階乗との関係

\Gamma(n)=(n-1)!,\qquad n=1,2,3,\ldots

よく使う半整数値

\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}

t分布の密度関数では、Gamma関数は主に前方の定数係数に現れ、自由度に応じて曲線を調整し、密度曲線下の総面積を1にします。t分布を理解するためにGamma関数を手計算する必要はありませんが、その役割を知ればΓを意味のない飾りと誤解せずに済みます。