確率変数と確率密度関数 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

確率モデルは、ランダムな現象からどのような結果が生じ得るか、また各結果がどの程度の確率で起こるかを記述します。これらを数学的に扱うため、確率変数を使って試行の結果を数値へ変換します。

確率変数とは何か？#

確率変数（random variable）は、無作為試行の各結果を数値へ対応させる関数です。試行前には結果が確定していないため、確率変数が最終的にどの値をとるかにも不確実性があります。

現実のランダムな結果は、出来事、状態、文章による説明などであり、そのままでは計算できない場合があります。確率変数は、関心のある特徴を選び、記号で表し、各結果を数値へ対応させる規則を定めます。この変換によって確率分布を構成し、平均、分散、その他の統計量を計算できるようになります。

コインを2回続けて投げると、表表、表裏、裏表、裏裏の4結果が考えられます。Xを表の出た回数と定義すれば、それぞれ2、1、1、0に対応します。

X\in\{0,1,2\}

標本平均やt、χ²、Fなどの統計量は、標本データから計算されます。標本抽出前には標本が確定しておらず、統計量も抽出された標本によって変わるため、確率変数として扱えます。

可能値を一つずつ列挙できるかによって、確率変数は離散型と連続型に分かれます。この違いにより、確率を記述する関数も異なります。

離散型確率変数には確率質量関数（probability mass function, PMF）を使います。これはXが特定の値xをとる確率を直接表します。

特定の値をとる確率

p(x)=P(X=x)

全可能値の確率の合計

\sum_x p(x)=1

連続型確率変数には確率密度関数（probability density function, PDF）を使います。ある点での曲線の高さは確率密度であり、その点自体の確率ではありません。区間の確率は密度曲線下の面積です。

確率密度は、確率変数の可能値が各位置の周辺にどれほど集中しているかを表す関数です。ある位置での関数の高さが密度であり、一定範囲の密度を積分して得られる曲線下の面積が、その区間の確率です。

確率は必ず0から1の間ですが、確率密度の高さは1を超えることがあります。密度曲線下の総面積が1なら、正しい確率密度関数です。

たとえばXが0から0.5の間で一様に分布するとします。幅は0.5しかないため密度の高さを2にでき、それでも総面積は0.5×2=1です。

密度関数

f(x)=2,\quad 0\le x\le 0.5

全範囲の確率

P(0\le X\le 0.5)=\int_0^{0.5}2\,dx=1

一部分の確率

P(0\le X\le 0.1)=\int_0^{0.1}2\,dx=0.2

1点の確率

P(X=x)=0

区間確率

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

密度曲線下の総面積

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

累積分布関数（cumulative distribution function, CDF）は離散型と連続型の両方に使え、xまでに累積した確率を表します。

共通の定義

F(x)=P(X\le x)

連続型での表現

F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)\,du

確率変数の種類	代表的な分布
離散型	二項分布（binomial）、ポアソン分布（Poisson）、超幾何分布（hypergeometric）
連続型	正規分布（normal）、一様分布（uniform）、指数分布（exponential）