指数分布 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

指数分布（exponential distribution）は連続型確率分布で、事象が一定の平均発生率で互いに独立して起こるとき、次の事象までの待ち時間を記述します。

どのような場合に使うか？#

次の電話や顧客の到着までの時間、一定の故障率を仮定した装置の故障時間などに使います。データが待ち時間であるだけでなく、平均発生率がおおむね一定で、異なる時間区間の事象を独立とみなせるかも確認します。

確率変数Xを次の事象までの待ち時間、平均発生率をλとすると、Xは母数λの指数分布に従います。

分布の表記

X\sim\operatorname{Exp}(\lambda),\qquad \lambda>0

確率密度関数

f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}

密度はx=0でf(0)=λとなり、その後は待ち時間とともに低下します。λが大きいほど事象が頻繁に起こり、曲線は高い位置から急速に低下して、典型的な待ち時間も短くなります。

連続型分布なので一点の確率は0です。一定時間内に起こる確率や、その時間を超えても起こらない確率は曲線下の面積で計算します。

累積分布関数

F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge0

生存関数

S(x)=P(X>x)=e^{-\lambda x},\qquad x\ge0

区間に入る確率

P(a<X\le b)=F(b)-F(a)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}

発生率と平均待ち時間は互いに逆数です。λが大きいほど待ち時間の平均と変動は小さくなります。

期待値

E(X)=\frac{1}{\lambda}

分散と標準偏差

\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2},\qquad \operatorname{SD}(X)=\frac{1}{\lambda}

指数分布には無記憶性があります。すでにs時間待っても事象が起きていないという条件下で、さらにt時間を超えて待つ確率は、最初からt時間を超えて待つ確率と同じです。

P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)=e^{-\lambda t}

補足：短い時間区間から指数分布を導く

長さxの時間をn個の短い区間Δt=x/nへ分けます。一定の発生率λなら、各区間で事象が起こらない確率は約1−λx/nです。

各区間で事象なし

P(\text{no event in }\Delta t)\approx 1-\lambda\frac{x}{n}

n区間すべてで事象なし

P(X>x)\approx\left(1-\lambda\frac{x}{n}\right)^n

区間を限りなく細かくする

S(x)=P(X>x)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\lambda\frac{x}{n}\right)^n=e^{-\lambda x}

この極限はまず生存関数を与えます。1から引けば累積分布関数、xで微分すれば確率密度関数が得られます。

生存関数から累積確率へ

F(x)=1-S(x)=1-e^{-\lambda x}

累積確率から密度へ

f(x)=F'(x)=-S'(x)=\lambda e^{-\lambda x}

補足：平均待ち時間が1/λとなる理由

非負確率変数の期待値は生存関数下の面積で表せます。S(x)=e^(−λx)を積分すると1/λになります。

E(X)=\int_0^{\infty}S(x)\,dx=\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}\,dx=\frac{1}{\lambda}

時間t内の発生回数N(t)が平均λtのポアソン分布に従うなら、最初の事象までの時間Xは母数λの指数分布に従います。tを超えて待つことは、時間t内に事象が一度も起こらないことと同じです。

発生回数

N(t)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)

待ち時間

P(X>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}

生存時間解析では、指数分布はハザード率を一定のλとしたモデルです。ハザード率は時点xまで生存したという条件下で、直後の短い時間に事象が起こる瞬間的な率を表します。

h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}=\lambda