生存曲線の推定 | 生存時間解析 | 生物統計学学習ノート

生存時間解析は、死亡、再発、回復など事前に定義した事象までの時間を扱います。追跡終了まで事象が起きない右打ち切りを情報として残しながら、生存関数を推定する代表的方法がKaplan–Meier法です。

母生存関数と標本生存曲線#

母生存関数

S(t)=P(T>t)=1-F(t)

打ち切りなしの標本比率

\hat S(t)=\frac{\#\{T_i>t\}}n

S(t)は起点からtを超えて事象なしでいる確率です。0から始まり、時間とともに増えない関数です。打ち切りがあると単純な人数比では追跡時間の違いを正しく扱えません。

異なる事象時刻をt₁<t₂<…とし、直前の危険集合をnⱼ、同時刻の事象数をdⱼとします。各時刻までの生存は、それ以前まで生存した条件付き確率の積です。

条件付き生存割合

P(T>t_j\mid T\ge t_j)=\frac{n_j-d_j}{n_j}

積極限推定量

\hat S(t)=\prod_{t_j\le t}\left(\frac{n_j-d_j}{n_j}\right)

曲線は事象時刻で階段状に下降し、打ち切り時刻では高さを保ちます。同時事象はdⱼとして一度に処理します。

t=7

\hat S(7)=\frac9{10}\frac8{9}\frac6{8}=0.600

t=12

\hat S(12)=0.360\times\frac12=0.180

分散

\widehat{\operatorname{Var}}[\hat S(t)]=\hat S(t)^2\sum_{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}

標準誤差

SE[\hat S(t)]=\hat S(t)\sqrt{\sum_{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}}

後半ほど危険集合が小さくなり、一事象の寄与と不確実性が大きくなります。曲線末尾は少人数で支えられるため過度に解釈しません。

\hat S(t)\pm z_{1-\alpha/2}SE[\hat S(t)]

通常のWald区間は0未満や1超になり得ます。切り詰める方法は簡単ですが被覆が良くないため、確率範囲を自然に保つlog–log変換がよく使われます。

変換

g(t)=\ln[-\ln\hat S(t)]

変換後SE

SE[g(t)]=\sqrt{\frac1{[\ln\hat S(t)]^2}\sum_{t_j\le t}\frac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}}

元尺度の区間

\hat S(t)^{\exp[zSE(g)]}<S(t)<\hat S(t)^{\exp[-zSE(g)]}

生存関数はtまで事象なしの確率、ハザードh(t)はtまで生存した個体が直後に事象を起こす瞬間率です。ハザードは確率そのものではありません。

ハザード

h(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{P(t\le T<t+\Delta t\mid T\ge t)}{\Delta t}

密度との関係

h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=-\frac{S'(t)}{S(t)}

累積ハザード

H(t)=\int_0^t h(u)du=-\ln S(t)

逆関係

S(t)=e^{-H(t)}