二群の生存曲線比較 | 生存時間解析 | 生物統計学学習ノート

log-rank検定は二群以上の生存曲線全体を比較します。各事象時刻で、帰無仮説の下で期待される群別事象数と観察事象数の差を累積します。

仮説#

帰無仮説

H_0:S_1(t)=S_2(t)\quad\text{for every }t

対立仮説

H_1:S_1(t)\ne S_2(t)\quad\text{for at least one }t

合併危険集合

n_j=n_{Aj}+n_{Bj}

合併事象数

d_j=d_{Aj}+d_{Bj}

A群の期待事象数

e_{Aj}=d_j\frac{n_{Aj}}{n_j}

観察−期待

u_j=d_{Aj}-e_{Aj}

H₀では同じ時刻の危険集合内で群による事象率差がないため、合併事象dⱼを各群の危険集合割合で配分します。

条件付き分布

D_{Aj}\mid n_{Aj},n_{Bj},d_j,H_0\sim\operatorname{Hypergeometric}(n_j,n_{Aj},d_j)

確率

P(D_{Aj}=x)=\frac{\binom{n_{Aj}}x\binom{n_{Bj}}{d_j-x}}{\binom{n_j}{d_j}}

分散

v_j=d_j\frac{n_{Aj}}{n_j}\frac{n_{Bj}}{n_j}\frac{n_j-d_j}{n_j-1}

有限母集団補正(nⱼ−dⱼ)/(nⱼ−1)は、同じ時刻の総事象数dⱼが固定されていることを反映します。

log-rankスコア

U_L=\sum_j(d_{Aj}-e_{Aj})

H₀下の平均

E(U_L\mid H_0)=0

累積分散

\operatorname{Var}(U_L\mid H_0)=\sum_jv_j

標準化

Z=\frac{U_L}{\sqrt{\sum_jv_j}}\approx N(0,1)

事象がある時刻だけ比較行を作ります。打ち切りだけの時刻はO−Eを生みませんが、以後の危険集合から対象を除くため計算に影響します。

例の累積値

U_L=6.572,\quad\operatorname{Var}(U_L)=7.884

z=\frac{6.572}{\sqrt{7.884}}=2.341

等価な統計量

\chi^2=z^2=5.479,\quad df=1

両側p値

p\approx0.019

二群では独立な比較方向が一つなのでZ²はχ²₁に近似します。正のULはA群の観察事象がH₀期待より多い方向を示しますが、臨床的大きさは時点別生存率やhazard ratioと信頼区間で示します。

z_{cc}=\frac{|U_L|-0.5}{sd(U_L)}

補正はより保守的ですが、現代の生存解析ソフトは通常未補正log-rank χ²を報告します。使用版を明記し混在させません。