仮説検定 | 検定の基礎 | 生物統計学学習ノート

仮説検定（hypothesis testing）は、未知の母数について検証可能な仮説を立て、標本情報から観察結果がその仮説と整合するかを判断する方法です。仮説の真偽を直接証明するのではなく、仮説が成立するとした場合に現在の結果がどれほど稀かを測ります。

仮説検定の基本手順#

研究上の問いを、母数や母集団の関係について互いに対立する二つの統計命題へ変換します。

仮説	役割	代表的な形
帰無仮説H₀	検定の出発点。差・関連がない、または母数が指定値に等しい	H₀: μ=μ₀
対立仮説H₁／Hₐ	データが支持することを期待する方向	H₁: μ≠μ₀、μ>μ₀、μ<μ₀

両側対立仮説

H_0:\mu=\mu_0,\qquad H_1:\mu\ne\mu_0

右側対立仮説

H_0:\mu\leq\mu_0,\qquad H_1:\mu>\mu_0

左側対立仮説

H_0:\mu\geq\mu_0,\qquad H_1:\mu<\mu_0

同じデータからも問いに応じて異なる統計量を作れます。Z、t、χ²、Fの選択は元データの名称ではなく、指定した演算後の統計量がH₀下でどの分布に従うかによって決まります。

統計量・研究問題	H₀下の主な参照分布
母標準偏差既知の標準化平均	標準正規Z分布
未知の母標準偏差を標本標準偏差で推定した平均	t分布
標準正規変数の二乗和、分散関連、一部のカテゴリーデータ	カイ二乗分布
独立な二つの分散成分の比	F分布

裾はH₀より極端でH₁を支持する方向です。両側検定は「異なるか」を問い棄却域を両端に置き、片側検定は事前に「大きい」または「小さい」という方向を指定します。

対称なZまたはt分布で、観察方向が片側H₁と一致し同じ統計量を比較する場合、両側p値は対応する片側p値の通常2倍です。すべての分布や反対方向の観察には適用できません。

p_{\mathrm{two\text{-}sided}}=2P_{H_0}(T\geq |t_{\mathrm{obs}}|)

標本には偶然変動があるため統計的判断は誤ることがあります。真の状態と判断を組み合わせて区別します。

第1種過誤

\alpha=P(\text{reject }H_0\mid H_0\text{ is true})

第2種過誤

\beta=P(\text{do not reject }H_0\mid H_0\text{ is false})

統計的検出力

\operatorname{Power}=1-\beta

他条件が同じで棄却境界だけを動かすと、αを下げるほどβは上がりやすくなります。一方、標本サイズ増加、測定変動の低減、真の効果増大は、αを緩めずに検出力を高めます。

p値はH₀が真であるという条件下で、観察した検定統計量と同程度またはH₁をより強く支持する極端な結果を得る確率です。「より極端」の方向は事前に決めた片側・両側によります。

p=P_{H_0}(\text{test statistic at least as extreme as observed})

分析前にα（例0.05）を決め、p≤αならH₀を棄却し、p>αなら棄却しません。p値が小さいほどH₀に反する証拠は強いものの、効果が大きい、研究品質が高い、臨床的に重要という意味ではありません。

H₀を棄却

p\leq\alpha

H₀を棄却しない

p>\alpha

p値法、臨界値法、信頼区間法はいずれも観察結果をH₀下の標本分布へ戻し、事前に許容した範囲を超えるかを判断します。面積、位置、母数範囲という異なる視点です。

観察統計量から、H₀分布において同程度以上に極端な裾面積を計算し、事前に定めたαと比較します。

αによってH₀分布上に総面積αの棄却域を定め、その境界を臨界値と呼びます。統計量が境界を越えることはp≤αと同値です。

同じモデルとαに対応する両側検定では(1−α)×100%信頼区間を作れます。H₀の指定値が区間外なら棄却し、区間内なら棄却しません。

H_0:\theta=\theta_0,\qquad \theta_0\notin CI_{1-\alpha}\Longleftrightarrow p_{\mathrm{two\text{-}sided}}<\alpha