t検定の概念 | Z検定とt検定 | 生物統計学学習ノート

t検定は母平均または平均差を検定します。Z検定と同じく、観察した差をその標準誤差で標準化します。本質的な違いは式の形ではなく、母標準偏差σが既知かどうかです。

Z検定から出発する#

個々の観測値のZスコアは母平均から母標準偏差何個分離れているかを示します。標本平均では標準誤差σ/√nを使います。

個々の観測値のZスコア

Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}

標本平均の中心

E(\bar X)=\mu

標本平均の標準誤差

\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}

平均のZ統計量

Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}

完全な母集団を観察できないため、μだけでなくσも通常未知です。同じ標本から標本標準偏差sを計算してσを推定します。

標本分散

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2

標本標準偏差

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}}

推定標準誤差

\widehat{\operatorname{SE}}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}

σは固定母数ですがsは確率変数です。正規母集団からの独立標本では、標準化平均Zと標本分散から作るカイ二乗変数Uが独立になります。

平均の標準化

Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)

標本分散によるカイ二乗変数

U=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}

独立性

Z\perp U

t分布の構成

T=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}\sim t_{n-1}

1標本t統計量

t=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n},\qquad \nu=n-1

自由度が低いほどsの変動は大きく、t分布は裾へより多くの確率を置きます。自由度が増えるとsは安定し、標準正規分布へ近づきます。

t_\nu\xrightarrow[\nu\to\infty]{d}N(0,1)