母分散の推測 | Z検定とt検定 | 生物統計学学習ノート

母分散の推測は、データのばらつきが指定基準に等しいか、または二母集団の分散が等しいかを調べます。正規母集団では一母分散にカイ二乗分布、独立二母分散の比にF分布を使います。

一母分散のカイ二乗検定#

両側

H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2\ne\sigma_0^2

左側

H_0:\sigma^2\geq\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2<\sigma_0^2

右側

H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2,\qquad H_1:\sigma^2>\sigma_0^2

正規母集団の独立標本でμをX̄により推定すると自由度を一つ失い、標本分散の標準化は自由度n−1のカイ二乗分布に従います。

μ既知

\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi_n^2

X̄でμを推定

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2

H₀下の観察統計量

\chi_{\mathrm{obs}}^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}

\chi_{\mathrm{obs}}^2<\chi_{\alpha/2,\,n-1}^2\quad\text{or}\quad\chi_{\mathrm{obs}}^2>\chi_{1-\alpha/2,\,n-1}^2

等分散仮説

H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,\qquad H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2

F統計量

F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,\,n_2-1}

分子と分母を交換するとFは1/Fとなり、二つの自由度も交換します。

第1群

U_1=\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_1-1}^2

第2群

U_2=\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_2-1}^2

自由度で割った比

\frac{U_1/(n_1-1)}{U_2/(n_2-1)}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,\,n_2-1}