Welch ANOVA：不等分散の平均比較 | 分散分析

Welch ANOVAは複数の独立群の母平均を比較しながら、各群の分散が等しいことを要求しません。標準偏差が異なり、特に標本数も不均衡な場合、従来の一元配置ANOVAより適しています。

Welch ANOVAを検討する場面#

Welch法は非正規性への万能な代替ではありません。独立性は依然必要で、強い歪み、極端な外れ値、小標本では図形診断、変換、頑健法、研究課題に合うノンパラメトリック法も検討します。

帰無仮説

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k

対立仮説

H_1:\text{すべての }\mu_j\text{ が等しいわけではない}

第j群平均の推定分散は概ねsⱼ²/nⱼです。標本数が多い、または標本分散が小さい群ほど平均推定が精確なので、逆分散に比例する大きな重みを与えます。

第j群の重み

w_j=\frac{n_j}{s_j^2}

総重み

W=\sum_{j=1}^{k}w_j

加重総平均

\bar X_w=\frac{\sum_{j=1}^{k}w_j\bar X_j}{W}

各群平均と加重総平均の差を重み付けし、分散推定の不確実性を反映する補正量Aで分母と自由度を調整します。

補正量

A=\sum_{j=1}^{k}\frac{(1-w_j/W)^2}{n_j-1}

Welch F

F_W=\frac{\dfrac1{k-1}\sum_{j=1}^{k}w_j(\bar X_j-\bar X_w)^2}{1+\dfrac{2(k-2)}{k^2-1}A}

分子自由度

\nu_1=k-1

近似分母自由度

\nu_2=\frac{k^2-1}{3A}

F分布の右裾からp値を求めます。有意でも結論は少なくとも一群の平均が異なるというだけで、差の位置は分かりません。

共通MSEを仮定するLSD、pooled t、通常のTukey HSDをそのまま使いません。全ペア比較には、不等分散と不均衡標本を許し多重性も調整するGames–Howell法がよく使われます。