独立2標本t検定 | Z検定とt検定 | 生物統計学学習ノート

独立2標本t検定は、互いに関連しない二群の母平均を数量変数について比較します。一つの観察単位は一群だけに属し、群間に一対一の対応はありません。

データ形式#

二群は個別に引き算できません。X̄₁−X̄₂は独立確率変数の線形結合で、その分散は各平均の分散の和です。

平均差

D=\bar X_1-\bar X_2

独立な平均差の分散

\operatorname{Var}(D)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}

両側

H_0:\mu_1-\mu_2=0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2\ne0

右側

H_0:\mu_1-\mu_2\leq0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2>0

左側

H_0:\mu_1-\mu_2\geq0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2<0

平均差の推定分散

\widehat{\operatorname{Var}}(\bar X_1-\bar X_2)=\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}

Welch t

t=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}

Welch–Satterthwaite自由度

\nu\approx\frac{\left(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

プール分散

s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

プール標準誤差

\operatorname{SE}_p=\sqrt{s_p^2\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}

Pooled t

t=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0}{\sqrt{s_p^2(1/n_1+1/n_2)}},\qquad \nu=n_1+n_2-2

独立二群で同じ等分散モデルを使う場合、t検定と一元配置ANOVAは同じ有意性結論を与えます。

F=t^2