生物統計学 学習ノート概念・導出から実践的な解釈まで

CHAPTER 08 · TOPIC 02

中央値検定

独立二群を合併中央値の上下へ分け、超幾何分布または二比率近似で比較します。

このページの内容
  1. 適用する研究デザイン
  2. 仮説と2×2表
  3. 超幾何確率
  4. 合併中央値の両側の個数
  5. 大標本の二比率近似

中央値検定（Mood's median test）は、独立二群の合併中央値を境に各観測を上・下へ二値化し、両群が同じ側へ入る割合を比較します。

適用する研究デザイン#

設計方法
独立二群、合併中央値の両側割合Median test
独立二群、全順位情報Rank-sum / Mann–Whitney
一標本または対応Sign / Signed-rank

仮説と2×2表#

H0:η1=η2H1:η1≠η2H_0:\eta_1=\eta_2\qquad H_1:\eta_1\ne\eta_2
合併中央値より上下合計
第1群m₁n₁−m₁n₁
第2群m₂n₂−m₂n₂
合計MN−MN

中央値と同値の観測は事前規則で処理します。一般に除外しますが、同値が多いと結果が規則に敏感になるため必ず明記します。

超幾何確率#

有利な配置(n1m1)(n2m2)\binom{n_1}{m_1}\binom{n_2}{m_2}
全配置(n1+n2m1+m2)\binom{n_1+n_2}{m_1+m_2}
表の確率P(M1=m1∣M)=(n1m1)(n2m2)(n1+n2m1+m2)P(M_1=m_1\mid M)=\frac{\binom{n_1}{m_1}\binom{n_2}{m_2}}{\binom{n_1+n_2}{m_1+m_2}}

これは観察表一つの確率であり、両側p値は同等以上にH₀と不整合な全表の確率を合計します。Fisher正確検定と同じ条件付き計算です。

合併中央値の両側の個数#

Nが偶数m1+m2=N2m_1+m_2=\frac N2
Nが奇数で中央値を除外m1+m2=N−12m_1+m_2=\frac{N-1}{2}

大標本の二比率近似#

比率差p^1−p^2=m1n1−m2n2\hat p_1-\hat p_2=\frac{m_1}{n_1}-\frac{m_2}{n_2}
合併比率p^=m1+m2n1+n2,q^=1−p^\hat p=\frac{m_1+m_2}{n_1+n_2},\quad\hat q=1-\hat p
Z統計量Z=m1/n1−m2/n2p^q^(1/n1+1/n2)Z=\frac{m_1/n_1-m_2/n_2}{\sqrt{\hat p\hat q(1/n_1+1/n_2)}}