カイ二乗適合度検定 | 二項分布検定と2×2表

カイ二乗適合度検定は、一つのカテゴリー変数の観察度数が、事前に指定した理論比率に適合するかを調べます。

二項分布から多項分布へ#

k個の排他的カテゴリーの確率をπ₁,…,πk、度数をO₁,…,Okとすると、度数ベクトルは多項分布に従います。

確率の合計

\sum_{i=1}^{k}\pi_i=1

期待度数

E_i=n\pi_i

度数の合計

\sum_{i=1}^{k}O_i=n

帰無仮説

H_0:\pi_1=\pi_{10},\ldots,\pi_k=\pi_{k0}

対立仮説

H_1:\text{at least one }\pi_i\ne\pi_{i0}

統計量

\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}

自由度

\nu=k-1-m

O₁=a、O₂=n−a、期待値npとn(1−p)を代入すると、一比率Z統計量の二乗と一致します。

二カテゴリーχ²

\chi^2=\frac{(a-np)^2}{np(1-p)}

Zとの関係

\chi^2=Z^2

総数nが固定されるため、k−1個の度数を決めると最後の一つは自動的に決まります。同じデータからm個の母数を推定した場合はさらにmを引きます。