Fisherの正確確率検定 | 二項分布検定と2×2表

Fisherの正確確率検定は、2×2表の行・列の周辺度数を固定した条件下で、帰無仮説に適合する各表の確率を超幾何分布から直接計算します。大標本近似に依存しないため、小標本や期待度数が小さい場合に重要です。

周辺度数を固定すると一セルだけが自由#

周辺度数

R_1=a+b,\quad R_2=c+d,\quad C_1=a+c,\quad C_2=b+d

aから他セルを決定

b=R_1-a,\quad c=C_1-a,\quad d=R_2-C_1+a

aの最小値

a_{\min}=\max(0,R_1-C_2)

aの最大値

a_{\max}=\min(R_1,C_1)

超幾何確率

P(A=a\mid R_1,R_2,C_1,C_2)=\frac{\binom{C_1}{a}\binom{C_2}{R_1-a}}{\binom{N}{R_1}}

階乗表示

P(a,b,c,d)=\frac{R_1!R_2!C_1!C_2!}{a!b!c!d!N!}

N個のうち第1行へ入るR₁個の選び方が分母です。第1列からa個、第2列からR₁−a個を選ぶ組合せが分子になり、周辺度数を保つ表の確率が得られます。

\frac{\binom{C_1}{a}\binom{C_2}{b}}{\binom{N}{R_1}}=\frac{R_1!R_2!C_1!C_2!}{a!b!c!d!N!}

右側

p_{\mathrm{right}}=\sum_{a\geq a_{\mathrm{obs}}}P(A=a\mid\text{margins})

左側

p_{\mathrm{left}}=\sum_{a\leq a_{\mathrm{obs}}}P(A=a\mid\text{margins})

どちらの尾が対立仮説を支持するかは、行・列の配置と事前に定めた効果方向で決まります。データを見てから小さい方の片側p値を選びません。

p_{\mathrm{two\text{-}sided}}=\sum_{T:\,P(T)\leq P(T_{\mathrm{obs}})}P(T)

Fisher検定のp値が正確でも、効果推定に不確実性がないわけではありません。ORと適切な信頼区間、セル度数を併記し、条件付き推論であることを理解して報告します。