カイ二乗独立性検定 | 二項分布検定と2×2表

カイ二乗独立性検定は、一つの母集団で観察した二つのカテゴリー変数が独立かを分割表全体から評価します。観察度数と、独立なら期待される度数の差をPearsonカイ二乗統計量にまとめます。

仮説#

帰無仮説

H_0:X\text{ と }Y\text{ は独立}

対立仮説

H_1:X\text{ と }Y\text{ は独立でない}

H₀の確率条件

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

第i行の周辺確率

\widehat P(X=i)=\frac{n_{i+}}N

第j列の周辺確率

\widehat P(Y=j)=\frac{n_{+j}}N

独立時の同時確率

\widehat P_{ij}=\frac{n_{i+}}N\frac{n_{+j}}N

期待度数

E_{ij}=N\widehat P_{ij}=\frac{n_{i+}n_{+j}}N

Pearson残差

r_{ij}=\frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}

統計量

\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}

各セルの差を期待度数で標準化し、符号を消すため二乗して加えます。χ²が大きいほど、独立モデルでは説明しにくい表です。どのセルが差に寄与したかは残差も併せて確認します。

制限のない同時分布

rc-1

独立モデルの周辺母数

(r-1)+(c-1)

差としての自由度

df=(rc-1)-[(r-1)+(c-1)]=(r-1)(c-1)

\chi^2_{df=1}=\frac{N(AD-BC)^2}{(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)}

2×2表では周辺度数が決まると一セルだけが自由です。Aの偏差を通分すると次の共通項が現れ、四セルのPearson項をまとめると簡略式になります。

Aセルの偏差

A-E_A=\frac{AN-(A+B)(A+C)}N=\frac{AD-BC}{N}

対角セル

A-E_A=D-E_D=\frac{AD-BC}{N}

非対角セル

B-E_B=C-E_C=-\frac{AD-BC}{N}

\chi^2=\frac{(AD-BC)^2}{N^2}\left(\frac1{E_A}+\frac1{E_B}+\frac1{E_C}+\frac1{E_D}\right)

p=P\!\left(\chi^2_{df}\geq\chi^2_{\mathrm{obs}}\mid H_0\right)

χ²は非負で、H₀からのずれが大きいほど値が増えるため、方向にかかわらず右裾だけを使います。ただし有意になっても関連の方向や強さは分からないので、セル割合、残差、ORやRRも報告します。