McNemar検定 | 二項分布検定と2×2表 | 生物統計学学習ノート

McNemar検定は、同じ対象の前後測定やマッチしたペアなど、対応のある二値データで周辺比率が等しいかを検定します。通常の2×2独立性検定と異なり、情報を持つのは結果が変化した不一致ペアだけです。

対応のある2×2表#

aとdは変化していない一致ペアです。bとcは互いに反対方向へ変化した不一致ペアで、H₀はこの二方向が同程度に起こると主張します。

帰無仮説

H_0:P_b=P_c

対立仮説

H_1:P_b\ne P_c

不一致ペアに限定

H_0:\pi=P(b\mid b\text{ または }c)=\frac12

不一致ペア総数

n=b+c

H₀下の分布

B\mid(B+C=n)\sim\operatorname{Binomial}\left(n,\frac12\right)

H₀下の平均と分散

E(B)=\frac n2,\qquad\operatorname{Var}(B)=\frac n4

標準化

Z=\frac{b-n/2}{\sqrt{n/4}}

n=b+cを代入

Z=\frac{b-(b+c)/2}{\sqrt{(b+c)/4}}

簡略化

Z=\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}

\chi_M^2=Z^2=\frac{(b-c)^2}{b+c},\qquad df=1

両側検定ではZを二乗したχ²を使えます。bとcの差が不一致ペア総数に比べて大きいほど、周辺比率が等しいというH₀に反します。

p_{\mathrm{exact}}=2\min\left\{P(B\leq b_{\mathrm{obs}}),\ P(B\geq b_{\mathrm{obs}})\right\}\quad\text{（上限1）}

b+cが小さい場合はB~Binomial(b+c,1/2)を直接用います。離散分布なので両側p値の定義やmid-pを使うかを明記します。

補正Z

Z_Y=\frac{|b-c|-1}{\sqrt{b+c}}

補正McNemar統計量

\chi_{M,Y}^2=\frac{\left(|b-c|-1\right)^2}{b+c}

bの二項尺度で0.5を引くと、b−cの差の尺度では1を引く形になります。補正はより保守的ですが、小さい不一致数では正確二項法の方が直接的です。