分割表、オッズ比と相対リスク | 二項分布検定と2×2表

分割表（クロス集計表）は、二つ以上のカテゴリー変数を同時に整理します。特に2×2表は、独立性検定だけでなく、オッズ比（OR）と相対リスク（RR）を通じて関連の方向と大きさを数量化する基本形です。

2×2分割表の構造#

A～Dは同時条件を満たすセル度数、行・列の合計は周辺度数です。どちらを行、どちらを列に置くか自体は任意ですが、効果量の分子・分母と解釈は配置に依存するため、定義を明記します。

条件付き確率が等しい

P(Y=1\mid X=1)=P(Y=1\mid X=0)=P_Y

独立性の定義

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

同じ四つの数でも、どの母集団から誰を抽出したかで分母の意味が変わります。計算式より先に研究デザインを確認します。

確率pのオッズ

\operatorname{odds}=\frac{p}{1-p}

曝露群と非曝露群のオッズ比

OR=\frac{A/B}{C/D}=\frac{AD}{BC}

OR=1は関連なし、OR>1は曝露群の結果オッズが高く、OR<1は低いことを表します。たとえばOR=2は確率が2倍ではなく、オッズが2倍です。

対数オッズ比

\log(OR)=\log A+\log D-\log B-\log C

近似分散

\operatorname{Var}[\log(OR)]\approx\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D

標準誤差

SE[\log(OR)]=\sqrt{\frac1A+\frac1B+\frac1C+\frac1D}

検定統計量

Z=\frac{\log(OR)}{SE[\log(OR)]}

CI_{1-\alpha}(OR)=\exp\left\{\log(OR)\pm z_{1-\alpha/2}SE[\log(OR)]\right\}

曝露群のリスク

R_1=\frac{A}{A+B}

非曝露群のリスク

R_0=\frac{C}{C+D}

相対リスク

RR=\frac{R_1}{R_0}=\frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}

RR=1はリスクが等しく、RR=2は曝露群のリスクが2倍、RR=0.5は半分です。追跡期間と分母が定義できるコホート研究や試験で自然に解釈できます。

対数相対リスクの近似分散

\operatorname{Var}[\log(RR)]\approx\left(\frac1A-\frac1{A+B}\right)+\left(\frac1C-\frac1{C+D}\right)

標準誤差

SE[\log(RR)]=\sqrt{\left(\frac1A-\frac1{A+B}\right)+\left(\frac1C-\frac1{C+D}\right)}

検定統計量

Z=\frac{\log(RR)}{SE[\log(RR)]}

CI_{1-\alpha}(RR)=\exp\left\{\log(RR)\pm z_{1-\alpha/2}SE[\log(RR)]\right\}

p\approx0\quad\Longrightarrow\quad\frac{p}{1-p}\approx p\quad\Longrightarrow\quad OR\approx RR

非線形関数の分散は、推定値の近くで一次近似して求められます。これがOR・RRの対数標準誤差の基礎です。

\operatorname{Var}[f(X)]\approx[f'(\mu)]^2\operatorname{Var}(X)

log(x)では導関数が1/xなので、計数の対数分散は概ね1/xになります。独立な対数セル度数を足し引きすると分散は加算され、log(OR)の1/A+1/B+1/C+1/Dが得られます。RRでは同じ行の分子と分母が共有されるため共分散を考慮し、−1/(A+B)と−1/(C+D)が現れます。

いずれかのセルが0だと通常のORや対数標準誤差は無限または未定義になります。機械的な0.5加算は推定対象を変え得るため、正確法、条件付き推定、罰則付きロジスティック回帰などを目的に応じて検討し、採用法を明記します。