二項検定 | 二項分布検定と2×2表 | 生物統計学学習ノート

二項検定は二値結果の母比率を推測します。1標本では標本比率p̂を指定値π₀と比較し、独立2標本ではp̂₁−p̂₂を比較します。十分な標本では正規近似Z検定、小標本や稀な事象では正確二項法を使います。

成功回数から標本比率へ#

X~Binomial(n,π)なら標本比率p̂=X/nです。線形変換の法則から平均と分散を求められます。

標本比率

\hat p=\frac{X}{n}

期待値

E(\hat p)=\pi

分散

\operatorname{Var}(\hat p)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}

標準誤差

\operatorname{SE}(\hat p)=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}

両側

H_0:\pi=\pi_0,\qquad H_1:\pi\ne\pi_0

右側

H_0:\pi\leq\pi_0,\qquad H_1:\pi>\pi_0

左側

H_0:\pi\geq\pi_0,\qquad H_1:\pi<\pi_0

1比率Z統計量

Z=\frac{\hat p-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}

検定の分母はH₀で指定されたπ₀を使います。H₀下でどの程度変動するかを測るためです。

\hat p\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}

比率差

D=\hat p_1-\hat p_2

分散

\operatorname{Var}(D)=\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_2}

\widehat{\operatorname{SE}}(\hat p_1-\hat p_2)=\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}

H₀:π₁=π₂では共通比率を仮定し、二群の成功回数を合併したpooled proportionでH₀下の標準誤差を求めます。

合併比率

\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}

H₀下の標準誤差

\operatorname{SE}_0=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}

二比率Z統計量

Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\operatorname{SE}_0}

(\hat p_1-\hat p_2)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}

信頼区間ではH₀の共通比率を強制せず、各群の比率で標準誤差を推定します。

正規近似では期待成功数と期待失敗数が十分大きいか確認します。小標本、極端な比率、稀な事象では正確二項検定や2×2表のFisher正確検定を検討します。