ポアソン分布 | 確率分布 | 生物統計学学習ノート

ポアソン分布（Poisson distribution）は、一定の時間、面積、体積、その他の区間内に事象が起こる回数Xを記述する離散型確率分布です。

どのような場合に使うか？#

λは選んだ観察区間内の期待発生回数です。単位区間あたりの平均発生率をr、観察区間の長さをtとするとλ=rtであり、区間の長さを変えればλも変わります。

分布の表記

X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),\qquad \lambda>0

発生率と区間母数

\lambda=rt

可能な値

x=0,1,2,\ldots

Xは非負整数だけをとるため、連続型の確率密度関数ではなく確率質量関数を使います。次の式は区間内にちょうどx回事象が起こる確率です。

P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!},\qquad x=0,1,2,\ldots

λが小さいと確率は0と少数回へ集中して右に歪みます。λが増えると中心は右へ移り、範囲が広がって相対的な歪みが減ります。図の点がXの実際の整数値で、線は同じ分布の点を見分けやすくするだけです。

ポアソン分布では期待値と分散がともにλです。λが増えると平均回数だけでなく絶対的な変動も増え、標準偏差は√λになります。

期待値

E(X)=\lambda

分散

\operatorname{Var}(X)=\lambda

標準偏差

\operatorname{SD}(X)=\sqrt{\lambda}

事象が一度も起こらない確率は特に重要で、補事象から少なくとも一度起こる確率を直ちに求められます。

一度も起こらない

P(X=0)=e^{-\lambda}

少なくとも一度

P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-e^{-\lambda}

高々k回

P(X\le k)=\sum_{x=0}^{k}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

補足：二項分布からポアソン公式を導く

全区間で平均λ回事象が起こるとし、n個の短い区間へ分けます。nが大きいと各区間の発生確率は約λ/nで、2回以上起こる確率を無視できるため、一時的に二項試行として扱えます。

小区間の発生確率

p_n=\frac{\lambda}{n}

有限nでの二項モデル

X_n\sim\operatorname{Binomial}\!\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)

ちょうどx回発生

P(X_n=x)=\binom{n}{x}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}

P(X_n=x)=\underbrace{\frac{n!}{n^x(n-x)!}}_{A_n}\frac{\lambda^x}{x!}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{B_n}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}}_{C_n}

xを固定したままnを大きくします。排列比は1へ、指数極限はe^(−λ)へ、固定指数の補正は1へ近づきます。

排列比

A_n=\prod_{j=0}^{x-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\longrightarrow1

指数極限

B_n=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\longrightarrow e^{-\lambda}

固定指数

C_n=\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\longrightarrow1

\lim_{n\to\infty}P(X_n=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

二項分布でnが大きくpが小さく、λ=npが適度な大きさなら、成功回数をPoisson(λ)で近似できます。多数の機会のうち少数だけ起こる事象に適します。

X\sim\operatorname{Binomial}(n,p),\quad n\text{ large},\ p\text{ small},\ \lambda=np\quad\Longrightarrow\quad X\approx\operatorname{Poisson}(\lambda)

発生率rのポアソン過程では、長さt内の発生回数N(t)はPoisson(rt)、次の事象までの待ち時間TはExp(r)に従います。一方は回数を、他方は間隔を測ります。

固定時間内の発生回数

N(t)\sim\operatorname{Poisson}(rt)

次の事象までの待ち時間

T\sim\operatorname{Exp}(r)

tを超えて待つことは区間内で事象がないことと同じ

P(T>t)=P(N(t)=0)=e^{-rt}

異なる発生源の回数が独立なら、総回数もポアソン分布に従い、母数は各発生源の母数の和です。異なる時間帯、地域、発生源の計数を自然に統合できます。

X_i\sim\operatorname{Poisson}(\lambda_i)\text{ independently}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{i=1}^{m}X_i\sim\operatorname{Poisson}\!\left(\sum_{i=1}^{m}\lambda_i\right)