Fisher Z変換と相関係数の比較 | 回帰分析

標本相関係数rの標本分布は、特に|ρ|が大きいと非対称で分散もρに依存します。Fisher Z変換はrを実数全体へ写し、分布をより正規かつ分散一定に近づけ、信頼区間や相関係数の比較を可能にします。

Fisher Z変換#

標本相関

z_r=\frac12\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\operatorname{arctanh}(r)

母相関

z_\rho=\frac12\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)

逆変換

r=\tanh(z_r)=\frac{e^{2z_r}-1}{e^{2z_r}+1}

z(r)\approx N\left(z(\rho),\frac1{n-3}\right),\qquad SE[z(r)]\approx\frac1{\sqrt{n-3}}

仮説

H_0:\rho=\rho_0,\qquad H_1:\rho\ne\rho_0

Z統計量

Z=\frac{z(r)-z(\rho_0)}{1/\sqrt{n-3}}

ρ₀=0の検定には前頁のt検定が正確な標準法です。Fisher Zは非零の指定値、信頼区間、独立相関の比較で特に有用です。

下限

L_z=z(r)-z_{1-\alpha/2}\frac1{\sqrt{n-3}}

上限

U_z=z(r)+z_{1-\alpha/2}\frac1{\sqrt{n-3}}

r尺度へ戻す

CI_\rho=[\tanh(L_z),\tanh(U_z)]

仮説

H_0:\rho_1=\rho_2,\qquad H_1:\rho_1\ne\rho_2

各群を変換

z_1=z(r_1),\qquad z_2=z(r_2)

差の標準誤差

SE(z_1-z_2)=\sqrt{\frac1{n_1-3}+\frac1{n_2-3}}

比較Z

Z=\frac{z(r_1)-z(r_2)}{\sqrt{1/(n_1-3)+1/(n_2-3)}}

(z_1-z_2)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac1{n_1-3}+\frac1{n_2-3}}