Spearmanの順位相関 | 回帰分析 | 生物統計学学習ノート

Spearmanの順位相関係数rₛは、原値を順位へ変換してからPearson相関を計算し、二変数の単調な関連を評価します。直線でなくても一方向に増減する関係を捉えられます。

Spearman相関を検討する場面#

XとYを別々に小さい順へ並べて1～nの順位を与えます。同値（tie）は占める順位の平均を与えます。順位変換により間隔情報は捨てられ、順序だけが残ります。

r_s=\frac{\sum[R(X_i)-\overline{R_X}][R(Y_i)-\overline{R_Y}]}{\sqrt{\sum[R(X_i)-\overline{R_X}]^2}\sqrt{\sum[R(Y_i)-\overline{R_Y}]^2}}

rₛ=1なら順位が完全に一致、−1なら完全に逆順、0付近なら単調な順位関係が弱いことを示します。

順位差

d_i=R(X_i)-R(Y_i)

簡略式

r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}

符号は単調関係の方向、絶対値は順位の整合性を表します。強弱の固定的な境界は分野や測定信頼性に依存するため、散布図、信頼区間、研究文脈と合わせます。

H_0:\rho_s=0\qquad H_1:\rho_s\ne0

小標本では順位の置換分布に基づく正確検定、同順位や大標本では適切な近似・置換・bootstrapを使えます。片側か両側かは事前に決めます。

Pearson r用の分散1/(n−3)をSpearman rₛへそのまま使うのは一般に厳密ではありません。標本分布と同順位の影響が異なるため、Spearman専用近似、置換法、bootstrap信頼区間を利用します。